леви и десни съседни класове

[Infernum]

Нека Г е група с операция *, а G e подгрупа, и х е елмент на Г.
Десен съседен клас по G определен от елемента x е множеството Gx={t*x, t E G}. Аналогично се определя и левия съседен клас.
Докажете, че два съседни десни класа Gx, Gy или съвпадат, или нямат общ елемент.

[Реклама]

[dgs]

Нека съществува такова [tex]b[/tex], че [tex]b \in G_{x}[/tex] и [tex]b \in G_{y}[/tex]

[tex]b \in G_{x} \Rightarrow \exists b_{x} \in G[/tex], такова че [tex]b = b_{x}*x[/tex]
[tex]b \in G_{y} \Rightarrow \exists b_{y} \in G[/tex], такова че [tex]b = b_{y}*y[/tex]

Нека [tex]a \in G_{x}[/tex]
Ще докажем, че [tex]a \in G_{y}[/tex], с което на практика задачата е решена
За целта ще докажем съществуването на [tex]d \in G[/tex], такова че [tex]a = d*y[/tex]

[tex]b = b_{x}*x \Rightarrow b_{x}^{-1}*b = x[/tex], където с [tex]b_{x}^{-1}[/tex] съм означил обратния елемент на [tex]b_{x}[/tex] в Г

[tex]b_{x} \in G \Rightarrow b_{x}^{-1} \in G[/tex]

[tex]a \in G_{x} \Rightarrow \exists a_{x} \in G[/tex], такова че [tex]a = a_{x}*x[/tex]

[tex]\left. a = a_{x} * x \\ x = b_{x}^{-1} * b \\ b = b_{y} * y \right\} \Rightarrow a = a_{x} * x = a_{x} * (b_{x}^{-1} * b) = a_{x} *( b_{x}^{-1} *( b_{y} * y)) = (a_{x} * b_{x}^{-1} * b_{y}) * y \\[/tex]

[tex]\left. a_{x} \in G \\ b_{x}^{-1} \in G \\ b_{y} \in G \right\} \Rightarrow (a_{x} * b_{x}^{-1} * b_{y})\in G \\[/tex]

[tex]\Rightarrow [/tex] за търсения елемент [tex]d[/tex] имаме [tex]d = (a_{x} * b_{x}^{-1} * b_{y}) \in G [/tex] и [tex]a = d*y \Rightarrow [/tex]
[tex]\Rightarrow a \in G_{y}[/tex]