Задача

[Pinetop Smith]

В окръжност с център О са построени две взаимноперпендикулярни хорди АВ и CD, които се пресичат в точка М. Да се докаже, че:

[tex]2\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} [/tex]

Както винаги, измайсторих 3-4 стр. решение на лесна(може би?) задача и ми се иска да видя нещо по-лесно.

[Реклама]

[garion]

Нека P и Q са средите съответно на АВ и CD.
Тогава
[tex]2\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{OB}[/tex]
[tex]2\vec{OQ} = \vec{OC} + \vec{OD}[/tex]
Но OPMQ(надявам се да е в правилен ред, че нямам чертеж пред мен) e правоъгълник и тогава:
[tex]\vec{OM} = \vec{OP} + \vec{OQ}[/tex]
[tex]2\vec{OM} = 2\vec{OP} + 2\vec{OQ}[/tex]

[tex]2\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}[/tex]

[Pinetop Smith]

Да, и аз ги построих тези среди, но първо бях правил едни други неща и бях достигнал до друго равенство и стана лошо...
Благодаря!