Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Thu Feb 14, 2008 1:12 pm Заглавие: Геометрия |
|
|
Задача. Дължините [tex]|AB|, |BC|, |CA|[/tex] на страните на [tex]\ \triangle ABC[/tex] са нечетни естествени числа. Да се докаже, че числата [tex]h_{a}, h_{b}, h_{c}[/tex] са ирационални. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
luboslav_p Начинаещ
Регистриран на: 16 Feb 2008 Мнения: 33 Местожителство: София гласове: 7
|
Пуснато на: Sat Feb 16, 2008 10:34 pm Заглавие: |
|
|
Нека a,b,c са страните на тиъгълника и да допуснем, че някоя височина е рационално число. Оттук веднага ще следва, че лицето на триъгълникът е рационално. От формулата на Херон имаме, че S=sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/16) ще е рационално, но 16=42 и значи (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=t2 и t ще е естествено. Това е еквивалентно на 2a2b2+2a2c2+2b2c2 -a4-b4-c4=t2. Лявата част е сравнима с 3 по модул 8, защото a,b,c са нечетни, а лявата с 0 или 1-противоречие. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Tue Feb 19, 2008 10:57 pm Заглавие: |
|
|
Задача 2. За всеки [tex]n[/tex] точки в равнината, разстоянията между всеки две от които са цели числа, означаваме с [tex]t(n)[/tex] броя на разстоянията, които са прости числа. Да се намери [tex]\max t(4).[/tex]
Последната промяна е направена от Мирослав Стоенчев на Sun Mar 02, 2008 3:39 pm; мнението е било променяно общо 3 пъти |
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Wed Feb 20, 2008 1:59 pm Заглавие: Етюди по Геометрия |
|
|
E1. Нека [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност [tex]w(O)[/tex] четириъгълник, като [tex]|AB|\ne |CD|,[/tex] [tex]|BC|\ne |DA|, [/tex][tex]AC\cap BD=P.[/tex] Нека [tex]M, N, X, Y, K, S, T[/tex] са такива, че:
[tex]i)[/tex] [tex]M,N[/tex] са от вътрешността на [tex]ABCD,[/tex] като [tex]\angle MAB=\angle MCD,\angle MBC=\angle MDA, \angle NAD=\angle NCB, \angle NBA=\angle NDC[/tex]
[tex]ii)[/tex] [tex]X,Y[/tex] външни за [tex]ABCD,[/tex] като [tex]\angle XAD+\angle XCB=\angle XBA+\angle XDC=\angle YBC+\angle YDA=\angle YAB+\angle YCD=180^\circ[/tex]
[tex]iii)[/tex] [tex]K=MN\cap XY, [/tex]a [tex]KS,\ KT[/tex] са допирателните към [tex]w(O)[/tex]
Да се докаже, че:
а) [tex]\angle OXP=\angle OYP,\ \angle OMP=\angle ONP[/tex]
b) [tex]P\in ST[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|