кандидат студенти

[ivantes]

още една интересна задача чието решение изисква нищо друго освен да се мисли ! Да се реши уравнението 3*spqr(x^2-9) + 4*spqr(x^2-16) + 5*spqr(x^2-25) = 120/x

spqr - е корен квадратен и се отнася само за израза в скобите
* - умножение
/ - дробна черта

желая успех !!!

[Реклама]

[Lubo]

Здравейте,

Искаше ми се да избегна 'чистото' алгебрично решение и
да 'изровя' някакава 'cool' геометрична 'connection' -
нещо като 3-4-5 правоъгълни тръгълници, но засега не успявам.

Вероятно има такава връзка, защото условието на задачата
е 'пълно' с 'Питагорови' квадратни корени, включващи
по един или друг начин числата 3, 4 и 5,
които сами по себе си представляват Питагорова тройка...

Но както и да е.

Засега ще се огранича с един алгебрично/разказвателен вариант
на решението...

(1) Частта от уравнението с квадратните корени
е дефинирана (определена) само за
x>= + 5 или x<= - 5

(2) Тази част на уравнението е винаги положителна (+),
не съм много сигурен в точния термин,
мисля че се казваше 'принципен' квадратен корен...

(3) Графиката на другата част: 120/x
е хипербола, като левият й клон е изцяло отрицателен (-)
и затова не може да има обща точка (решение) с левия клон
на графиката на частта на уравнението с квадратните корени.

(4) Десният клон на частта с квадратните корени е 'монотонно'
растяща функция в целия интервал (+5, + безкрайност)

(5) Десният клон на частта 120/x е 'монотонно'
намаляваща функция в целия интервал (0, + безкрайност)

(6) От (4) и (5) следва, че ако графиките на десните клонове
на двете функции изобщо имат обща точка, то това
може да бъде само една единствена такава точка

(7) Очевидно е, че x = 5 удовлетворява уравнението,
а от (3) и (6) следва, че това е единственото решение на задачата.

----------

Дано да сте имали търпението да прочетете моето 'алгебрично есе'.

Сега една картинка за пояснение на многото думи...





Любо