Национална олимпиада

[v1rusman]

На дъска са написани последователно цифрите на числата от 1 до 1990:
12345678910111213...........19891990
В така полученото многоцифрено число се зачертават всички цифри,разположени на четни места.В новополученото число след това се зачертават всички цифри,разположени на нечетни места,след което в новото число отново се зачертават цифрите,стоящи на четни места и т.н.Да се намери последната цифра,която трябва да се зачертае.

ПП:Задачата е давана на подборния кръг на Националната олимпиада по математика
през 1990г.На мен лично много ми харесва(въпреки че е много трудна).

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Задача 1. Р-е: Записани са [tex]\ 9[/tex]-едноцифрени, [tex]\ 90[/tex]-двуцифрени, [tex]\ 991[/tex]-трицифрени, следователно общия брой на записаните цифри е [tex]\ 6853.[/tex]
Разглеждаме редицата от числа [tex]1,2,3,...,6853.[/tex] Ще определим кое число от редицата [tex]\ 1,2,3,...,6853\ [/tex] ще задраскаме последно, ако спазваме прецударата от условието: почвайки да задраскваме първо числата на четни места, после на нечетни, после пак на четни и т.н.

Искаме да определим кое е последното задраскано число от редицата [tex]1,2,3,...,6853,[/tex] защото то е равно на номера на цифрата, която търсим.Знаейки нейния номер лесно бихме могли да я определим, с което задачата ще бъде решена.
Извършваме следните "стъпки":

1) Задраскваме на четните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]2k+1,\ k=0,1,2,...[/tex]
2) Задраскваме на нечетните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]4k+3,\ k=0,1,2,...[/tex]
3) Задраскваме на четните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]8k+3,\ k=0,1,2,...[/tex]
4) Задраскваме на нечетните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]16k+11,\ k=0,1,2,...[/tex]
5) Задраскваме на четните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]32k+11,\ k=0,1,2,...[/tex]
6) Задраскваме на нечетните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]64k+43,\ k=0,1,2,...[/tex]
7) Задраскваме на четните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]128k+43,\ k=0,1,2,...[/tex]
[tex]\left\(8\right\)[/tex] Задраскваме на нечетните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]256k+171,\ k=0,1,2,...[/tex]
9) Задраскваме на четните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата от вида [tex]512k+171,\ k=0,1,2,...[/tex]
10) Задраскваме на нечетните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата [tex]683,\ 1707,\ 2731,\ 3755,\ 4779,\ 5803,\ 6827 [/tex]
11) Задраскваме на четните места [tex]\Rightarrow [/tex] oстават числата [tex]683,\ 2731,\ 4779,\ 6827 [/tex]

Тогава последното зачертано число ще е [tex]2731.[/tex] Остана да определим коя е цифрата с номер [tex]2731[/tex] в редицата от цифри [tex]12345678910...19891990.[/tex]

За целта решаваме линейното диoфантово уравнение [tex]9.1+90.2+q.3+r=2731,\ r\in \left\{0,1,2\right\}\Rightarrow q=\frac{2542-r}{3}\Rightarrow r=1,\ q=847.[/tex] Последния резултат показва, че търсената цифра е първата цифра на [tex]848[/tex]-то трицифрено число, което е [tex]947.\ [/tex]
Значи търсената цифра е [tex]9.[/tex]