Ектремална задача

[r2d2]

В правоъгълен триъгълник хипотенузата АВ=1 и АС>=ВС. СН е всочина. Намерете най-голямата и най-малката стойоност (ако има такива) на АС+СН.

[Реклама]

[Nona]

[tex]AC=AB.\cos A=\cos A \\ CH=AC.\sin A=\cos A.\sin A \\ \Rightarrow AC+CH=\cos A(\sin A+1) \\ f(A)=\cos A(\sin A +1), \ \ \ A\in \left( 0, \frac \pi 4 \right] \\ f'(A)=-2\sin^2 A-\sin A +1=-(\sin A+1)(2\sin A-1) \\ \bullet \ \ A \in \left ( 0; \frac 12\right ], \ f'(A)\ge 0 \Rightarrow f(A)\nearrow \\ \bullet \ \ A \in \left [ \frac 12 ; \frac \pi 4 \right], \ f'(A)\le 0 \Rightarrow f(A)\searrow \\ \Rightarrow \max_{A\in \left( 0, \frac \pi 4 \right] } f(A)=f\left ( \frac \pi 6\right )=\frac{3\sqrt{3}}{4} \\ f\left ( 0\right)<f\left ( \frac \pi 4\right ), \ \ \lim_{A\rightarrow 0}f(A)=1,[/tex]

но А≠0, за да съществува триъгълникът; функцията няма най-малка стойност.

[r2d2]

Потърсете геометрично решение!

[xyz]

Геометрично решение не открих, но вече нещата са ми 100% интуитивно ясни. Задачата може да я формулираме така:

Дадена е единична окръжност и фискираме диаметър AB. За която точка от C сумата от разстоянията от C до AB и до върха A е максимална?

Можем да направим симетрия спрямо диаметъра и така ще търсим равнобедрен триъгълник с максимален периметър. Ще покажем, че равностранния триъгълник е подходящ (т.е. светло синият отдясно).
Преминаваме на лявата фигура. Ако "местим" някой връх на триъгълник, то кога периметъра е най-голям? Отговорът е интуитивно яснен - използваме фокалното свойство на елипсата. Така най-голяма сума от двете страни ще имаме при най-издутата елипса, а тази елипса ще се допира и то в средата на дъгата. На чертежа отляво синята и червената хоризонтални отсечки са примерните на триъгълника, а съответните по цвят елипси са тези, които се допират до окръжността. Червената е елипса и затова съм поставил и окръжност, за да се види това...
Получихме, че приравнявайки 2 от страните, при фиксирана трета, то получаваме по-голям периметър. Извършвайки граничен преход към безкрайност (колкото и негеометрично да звучи това), то ще клоним към равностранен триъгълник. Това трябва да се докаже, но е интуитивно ясно.
В заключение не само измеждо равнобедрените триъгълници равностранния е най-добър, но и измеждо всички. Така нещата са ясни (ама не са доказани строго - граничният преход вероятно ще е най-големия проблем, защото ще трябва да покажем, че промяната винаги е съществена (т.е. че разликата на страните ще клони към 0)).

[r2d2]

Да, имах предвид симетрията.
Твърдението: От всички равнобедрени триъгълници вписани в окр. с фикс. радиус най-голям периметър има равностранният приемам за общоизвестно.