еднакви ли са..триъгълниците и защо?

[vladi4]

Дадено : в ▲-ците АВСи A₁B₁C₁, BC+CA=B₁C₁+A₁C₁ ; ъгъл А=ъгълA₁ и ъгъл В=ъгъл B₁.Еднакви ли са ▲-ците и защо ?
(има ли някаква дефинирана зависимост за еднаквост между▲-ци при равни сборове между съответни двойки страни ??)

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Да допуснем, че триъгълниците не са еднакви и нека АВ > А₁В₁. Върху АВ построяваме вътрешна точка В₂ така, че АВ₂ = А₁В₁, а през В₂ - права, успоредна на ВС, която пресича АС в С₂. Лесно следва, че триъгълниците АВ₂С₂, А₁В₁С₁ и АВС имат еднакви ъгли и от избора на точката В₂ следва, че АВ₂С₂ и А₁В₁С₁ са еднакви. Тогава В₂С₂ + АС₂ = В₁С₁ + С₁А₁ = АВ + СА. Но това е невъзможно, ако точката В₁ е вътрешна за АВ, защото АВ₂ < АВ и АС₂ < АС. Полученото противоречие се дължи на допускането, че триъгълниците не са еднакви и следователно те са еднакви.

ПП1: Със сигурност има и нещо по-лесно, ама до одеве съм зубрил по л-ра.

ПП2: Познаваш ли подобни триъгълници?

[JusTok]

Върху продължението на АС взимаме т.Q такава че CQ=CB и върху продължението на A₁C₁ взимаме т.Q₁ така че C₁Q₁=C₁B₁
[tex]\angle BCQ=B_{1 }C_{1 }Q_{1 }[/tex]
=> [tex]\angle CQB=C_{1 }Q_{1 }B_{1 }[/tex]
▲AQB еднакъв на ▲A₁Q₁B₁
=> AB=A₁B₁