Okrejnosti opisani okolo triagalnici

Kiril Kolev · Начинаещ Регистриран на: 16 Sep 2006 Мнения: 10

B triagalnika ABC otse4kite AA1(!1 element na bc) i BB1 (B1 element na AC) sa aglopolobiashti. Okrajnostite, opisani okolo triagalni4ite AA1C i BB1C, se presi4at b to4ka M. Da se dokaje 4e to4kata M leji na AB togaba i samo togaba, kogato <ACB e 60º.

Ne moga da ia resha tazi zadacha. Molia pomognete i s drugata zadacha ot okrajnost opisana okolo 4etiriagalnik

Реклама

M_Velinova

Ето едно решение, описано е добре, нямах време за чертеж.

Като имам време ще ти напиша и за другата.

Vel

Lubo

Great Vel!

Сега обратнатната 'теорема' - ако ъгълът е 60 градуса - окръжностите се пресичат в една точка (D) от АВ.

Любо

M_Velinova · Пуснато на: Thu Oct 05, 2006 6:29 am Заглавие:

Чудесно Любо!

Много добре обяснено.

Аз направих по схематично доказателство на второто, защото ми се стори по лесно за възприемане.

Не разбрах, съгласен ли си с него?

Другата задача на Кирил Киров също е много интересна, ако имам време ще напиша довечера.

Vel

Futurolog · Начинаещ Регистриран на: 23 Nov 2006 Мнения: 18

Също ще напиша едно решение, което сигурно много не се различава от горните

Нека К_А и К_В са окръжностите, съответно описани около АА₁С и ВВ₁С. К_А и К_В се пресичат в точките С и М. Следователно
<АМС = <АА₁С като вписани ъгли с обча дъга АС в окръжността К_А. По същия начин <ВМС = < ВВ₁С. Нека О е пресечната точка на двете ъглополовящи.

1) Нека <С = 60. Тогава, отчитайки,че АА₁ и ВВ₁ са ъглополовящи, се получава, че <АОВ = 120=А₁ОВ₁. Тогава в четириъгълника А₁ОВ₁С имаме А₁ОВ₁ + А₁СВ₁ = 120 + 60 = 180. Следователно <ОВ₁С + <ОА₁С = 180. Но <АМС = <АА₁С = <ОА₁С и <ВМС = < ВВ₁С = <ОВ₁С, т.е. <АМВ = <АМС + <ВМС = <ОА₁С + <ОВ₁С = 180. Това показва, че М лежи на АВ.

2) Обратното следва от сходни съображения:
Ако М лежи на АВ, то тий като <АМС = <АА₁С = <ОА₁С и <ВМС = < ВВ₁С = <ОВ₁С, <ОА₁С + <ОВ₁С = <АМВ = <АМС + <ВМС = 180. Така заключаваме, че <АСВ + <А₁ОВ₁ = 180. Следователно
<АСВ = 180 - <АОВ. Също <АОВ = 180 - (<А + <В)/2, следователно
<АСВ = <С = (<А + <В)/2. От друга страна <А + <В = 180 - <С. Оттук получаваме 2 <С = 180 - <С, т.е. 3<С = 180, т.е. <С = 60.