Регистрирайте се
Интересна задача за 11клас може и за 12
|
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
soldier_vl VIP
Регистриран на: 09 Jul 2007 Мнения: 1151 Местожителство: София гласове: 22
|
Пуснато на: Sat Jan 19, 2008 12:13 am Заглавие: Интересна задача за 11клас може и за 12 |
|
|
Даден е успоредника АВСD, в който АВ=а, ВС=b и [tex]\angle BAD=\alpha <90^\circ [/tex]. Ако дължините на диагоналите на успоредника са 1 и 2, да се докаже, че:
a) cotg[tex]\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{4ab+3}{4ab-3}}[/tex]
б) cotg[tex]\frac{\alpha }{2}\ge 2[/tex]
11клас Втори математически турнир "Черно море" с международно участие Добрич, 19-21 май 2006г. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ObsCure Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007 Мнения: 990 Местожителство: Казанлък/Пловдив гласове: 28
|
Пуснато на: Fri Jan 25, 2008 5:02 pm Заглавие: |
|
|
Не ми се отдава особенно много работата с LaTeX-а,но при изполване на стандартните означения,решението е следното
a)Спускаме двата диагонала и прилагаме косинусовата теорема към триъгълник ABD.Та
BD2=AB2+AD2-2AB.AD.cos<BAD
1=a2+b2-2abcosα
Но ние знаем,че в успоредник
AC2+BD2=2a2+2b2 =>
=> AC2+BD2=5/2 => 2abcosα=3/2
4abcosα=3
А сега и малко тригонометрия!
4ab(2cos2α/2-1)=3
8abcos2α/2-4ab=3
След изразяване намираме
cosα/2=[tex] \sqrt{(4ab+3)/2\sqrt{2ab} } [/tex]
Остана само да изразим sinα/2.От основното тригонометрично,но приложено за половинка ъгъл получаваме
sinα/2=[tex] \sqrt{(4ab-3)/2\sqrt{2ab} } [/tex]
Окончателно
cotgα/2=(cosα/2)/(sinα/2) => cotgα/2=[tex] \sqrt{(4ab+3)/2\sqrt{2ab} } [/tex]/[tex] \sqrt{(4ab-3)/2\sqrt{2ab} } [/tex]
=> cotgα/2=[tex] \sqrt{(4ab+3) [/tex]/[tex] \sqrt{(4ab-3) [/tex]
б) Eни аидиъс? |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Fri Jan 25, 2008 7:00 pm Заглавие: |
|
|
ObsCure написа: |
4abcosα=3
А сега и малко тригонометрия!
|
Това не е малко, а много тригонометрия.
Просто прилагаш ф-лата (докажи я!) [tex]\cot^2 \;\frac {x}{2}=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
ObsCure Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007 Мнения: 990 Местожителство: Казанлък/Пловдив гласове: 28
|
Пуснато на: Fri Jan 25, 2008 7:27 pm Заглавие: |
|
|
Да,r2d2,за пореден път си прав,има си и по-лесен начин.Колкото до доказателство на 'формулката'
1+cosx=cos0°+cosx=2(cos0+x/2)(cosx-0/2)=2cosx/2cosx/2=2cos2x/2
1-cosx=cos0°-cosx=-2(sin0°+x/2)(sin0°-x/2)=-2sinx/2sin-x/2=2sin2x/2 =>
=>1+cosx/1-cosx=(2cos2x/2)/(2sin2x/2) =
=(cos2x/2)/(sin2x/2)=cotg2x/2 |
|
Върнете се в началото |
|
|
soldier_vl VIP
Регистриран на: 09 Jul 2007 Мнения: 1151 Местожителство: София гласове: 22
|
Пуснато на: Thu Mar 20, 2008 12:15 am Заглавие: |
|
|
б)Трябва да докажем че [tex]\sqrt{\frac{4ab+3}{4ab-3 } }\ge 2[/tex] при Д.С. [tex]ab \in ( \frac{3}{4}, +\infty )[/tex]
Преобразуваме неравенството до вида: [tex]ab\le \frac{5}{4}[/tex] и това трябва да го докажем
Прилагаме формулата за медиана от която намираме а2+б2=5/4
Прилагаме неравенството между средно аритметично и средно квадратично:
[tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2} }\ge \frac{a+b}{2}[/tex] Повдигаме го на квадрат заместваме където можем с а2+б2=5/4 и получаваме [tex]ab\le \frac{5}{4}[/tex], което трябва да докажем |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|