Регистрирайте сеРегистрирайте се

Интересна задача за 11клас може и за 12


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
soldier_vl
VIP


Регистриран на: 09 Jul 2007
Мнения: 1151
Местожителство: София
Репутация: 99Репутация: 99
гласове: 22

МнениеПуснато на: Sat Jan 19, 2008 12:13 am    Заглавие: Интересна задача за 11клас може и за 12

Даден е успоредника АВСD, в който АВ=а, ВС=b и [tex]\angle BAD=\alpha <90^\circ [/tex]. Ако дължините на диагоналите на успоредника са 1 и 2, да се докаже, че:
a) cotg[tex]\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{4ab+3}{4ab-3}}[/tex]
б) cotg[tex]\frac{\alpha }{2}\ge 2[/tex]
11клас Втори математически турнир "Черно море" с международно участие Добрич, 19-21 май 2006г.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ObsCure
Фен на форума


Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
Репутация: 104.4
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri Jan 25, 2008 5:02 pm    Заглавие:

Не ми се отдава особенно много работата с LaTeX-а,но при изполване на стандартните означения,решението е следното

a)Спускаме двата диагонала и прилагаме косинусовата теорема към триъгълник ABD.Та

BD2=AB2+AD2-2AB.AD.cos<BAD

1=a2+b2-2abcosα

Но ние знаем,че в успоредник

AC2+BD2=2a2+2b2 =>

=> AC2+BD2=5/2 => 2abcosα=3/2

4abcosα=3

А сега и малко тригонометрия!

4ab(2cos2α/2-1)=3

8abcos2α/2-4ab=3

След изразяване намираме

cosα/2=[tex] \sqrt{(4ab+3)/2\sqrt{2ab} } [/tex]

Остана само да изразим sinα/2.От основното тригонометрично,но приложено за половинка ъгъл получаваме

sinα/2=[tex] \sqrt{(4ab-3)/2\sqrt{2ab} } [/tex]

Окончателно

cotgα/2=(cosα/2)/(sinα/2) => cotgα/2=[tex] \sqrt{(4ab+3)/2\sqrt{2ab} } [/tex]/[tex] \sqrt{(4ab-3)/2\sqrt{2ab} } [/tex]

=> cotgα/2=[tex] \sqrt{(4ab+3) [/tex]/[tex] \sqrt{(4ab-3) [/tex]

б) Eни аидиъс?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Jan 25, 2008 7:00 pm    Заглавие:

ObsCure написа:

4abcosα=3
А сега и малко тригонометрия!

Това не е малко, а много тригонометрия.
Просто прилагаш ф-лата (докажи я!) [tex]\cot^2 \;\frac {x}{2}=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ObsCure
Фен на форума


Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
Репутация: 104.4
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri Jan 25, 2008 7:27 pm    Заглавие:

Да,r2d2,за пореден път си прав,има си и по-лесен начин.Колкото до доказателство на 'формулката'

1+cosx=cos0°+cosx=2(cos0+x/2)(cosx-0/2)=2cosx/2cosx/2=2cos2x/2

1-cosx=cos0°-cosx=-2(sin0°+x/2)(sin0°-x/2)=-2sinx/2sin-x/2=2sin2x/2 =>


=>1+cosx/1-cosx=(2cos2x/2)/(2sin2x/2) =

=(cos2x/2)/(sin2x/2)=cotg2x/2
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
soldier_vl
VIP


Регистриран на: 09 Jul 2007
Мнения: 1151
Местожителство: София
Репутация: 99Репутация: 99
гласове: 22

МнениеПуснато на: Thu Mar 20, 2008 12:15 am    Заглавие:

б)Трябва да докажем че [tex]\sqrt{\frac{4ab+3}{4ab-3 } }\ge 2[/tex] при Д.С. [tex]ab \in ( \frac{3}{4}, +\infty )[/tex]
Преобразуваме неравенството до вида: [tex]ab\le \frac{5}{4}[/tex] и това трябва да го докажем
Прилагаме формулата за медиана от която намираме а22=5/4
Прилагаме неравенството между средно аритметично и средно квадратично:
[tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2} }\ge \frac{a+b}{2}[/tex] Повдигаме го на квадрат заместваме където можем с а22=5/4 и получаваме [tex]ab\le \frac{5}{4}[/tex], което трябва да докажем
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.