кандидат студенти

[ivantes]

ето една интересна задача която може да бъде решена по 2 начина единият от който е доста лесен и кратак но изисква съобразителност ! успех на всички ! Дадена е окръжност с център О и диаметър АВ=2R . По допирателната към тази окръжност в точка А е нанесена отсечката АМ с дължина, по-голяма от R. През точката М е прекарана втора допирателната към окръжността, която пресича правата АВ в точка Р. Да се намерят страните на триъгълника АМР, ако се знае, че периметърът му е 8R. Ще започна да публикувам задачи за кандидат студенти от провели се изпити и не изтеглени теми такива които представляват интерес !

[Реклама]

[Tony_89]

Аз най-вероятно съм открил по-дългия начин

Нека допирателната през т.M и т.P се допира до окръжността в т.S.
Нека другата допирателна през т.P към окръжността се допира до нея в т.N и пресича правата AM в т.Q.
Нека AM=x=SM=AQ=QN
Нека SP=PN=y
AP=SQRT( 2*x*y+y^2 ) (Питагоровата теорема)
S(QMP)=AP*QM/2=x*SQRT( 2*x*y+y^2 )
Окръжността е вписана в триъгълник QMP =>
=> S(QMP)=p(QMP)*R=( 2*x+y )*R
x*SQRT( 2*x*y+y^2 ) = (2*x+y )*R
R = (x*SQRT(y))/SQRT(2*x+y) =>
=> P(QMP) = 8*(x*SQRT(y))/SQRT(2*x+y) =
= (8*x*SQRT(y))/SQRT(2*x+y)
P(QMP)=AM+PM+AP=2*x+y+SQRT(2*x*y+y^2)
2*x+y+SQRT(2*x*y+y^2) = (8*x*SQRT(y))/SQRT(2*x+y)
След много преобразувания се получава:
x/y = 3/2
x=3*y/2
AP=SQRT( 2*x*y + y^2 ) = 2*y
AM+PM+AP=8*R
x + x + y + 2*y = 8*R
y = 4*R/3
x = 3*y/2 = 2*R
AM = x = 2*R
PM = x + y = 10*R/3
AP = 2*y = 8*R/3

[Tony_89]

Там, където съм написал P(QMP)=AM+PM+AP и два реда по-нагоре съм имал предвид P(AMP)

[ivantes]

тони опита ли да е решиш по другия начин ?

[Tony_89]

Еми открих един друг начин, който мисля за по-лесен:
При същите означения.

OP = SQRT( R^2 + y^2 ) (Питагоровата теорема)
OM = l<AMP =>
=> AO/OP=AM/PM
R/SQRT( R^2 + y^2 )=x/( x + y )
y = 2*(R^2)*x/(x^2 - R^2)
P(AMP) = AP + AM + PM = R + OP + x + x + y = R + OP + 2*x + y = =8*R
OP = 7*R - 2*x - y
AO/OP=AM/PM
R/( 7*R - 2*x - y )=x/( x + y )
y = 2*x*( 3*R - x )/( R + x ) = 2*(R^2)*x/(x^2 - R^2)
x^2 - 4*R*x + 4*R^2 = 0
x = 2*R
Останалото съм написал по-горе

[Lubo]

Здравейте всички,

Страшно съм зает напоследък и не мога да се включвам в тези интересни дискусии.
Tony-89, много, много съм изморен и направо нямах сили да проследя твоите решения на тази задача, така че това което сега ще предложа може и да съвпада или а е близо до тях, но както и да е...

Подсещането, че съществува 'лесно' решение ме накара да се опитам да потърся нещо малко по-различно от съвсем директния подход. Може да не това, което авторът на оригиналния постинг е имал впредвид, но все пак е един сравнително по-кратък път.

За съжаление, в 'реалния' свят на изпитите и математическите състезания никой не ти дава такива изванредно ценни подсещания.

Сега моят вариант на решението на тази хубава задача:



Любо

[Tony_89]

Интересен и доста нестандартен начин, Lubo

[ivantes]

поздравления Любо ето точно това имам предвид с тази задача изках да припомня свойствата на пропорциите които често се забравят ! а те в някои случеи ни помагат доста ! благодаря и на Тони за неговите решения те също изискват добри познания и умения ! Ще продалжа с подобни интересни задачи

[ivantes]

Извинете ме за правописа страшно бързах !!!