Московска олимпиада

[v1rusman]

Да се реши уравнението:
а!+b!+c!=d!,където n!=1.2.3.4......(n-2)(n-1)n
ПП:Задачата е от Московска олимпиада от 1997г.

[Реклама]

[Nona]

[tex]d>max(a,b,c), \\ d-1 \ge max(a,b,c) \\ d!=d.(d-1)!\ge d.(max(a,b,c))![/tex]
Ако d>3, [tex]d!>3.(max(a,b,c))!\ge a!+b!+c![/tex] и задачата няма решение.
Ако d е равно на 1 или 2, лявата страна на уравнението е по-голяма от дясната.
Единственото решение е при [tex]d=3[/tex]. Тогава решение е [tex]a=b=c=2[/tex].
Без ограничение можем да считаме, че [tex]3>a\ge b \ge c.[/tex] Ако [tex]c=\left {0,1\right }[/tex], то трябва [tex]a!+b!=5,[/tex] което няма решение в естествени числа.
Следователно единствено решение на задачата е [tex](a,b,c,d)=(2,2,2,3).[/tex]

Ето още няколко задачи с факториели:

Решете в естествени числа:

Задача 1. [tex]a!+b!+c!+d!=e!.[/tex]

Задача 2. [tex]a!b!=a!+b!+c!.[/tex]

Задача 3. [tex]a!b!=a!+b!+c^2.[/tex]

Задача 4. [tex]a!b!=a!+b!+2^c.[/tex]

Задача 5. [tex](y+1)^x-1=y!.[/tex]

Задача 6. Да се докаже, че уравнението [tex]y!-y^2-y+19=0[/tex] няма решение в естествени числа.

Задача 7. Решете в неотрицателни числа [tex]\frac{a!+b!}{n!}=3^n.[/tex]

[v1rusman]

За първата:
Без ограничение а≤b≤c≤d и е!>d!.При d>3=>е!≥(d+1)!=(d+1)d!,a d+1>4=>
e!≥4d!≥a!+b!+c!+d!,т.е уравнението няма решение.Чрез непосредствена проверка
(след като сме установили,че уравнението има решение при d<3)=>
(а,b,c,d)={1,1,2,2};(a,b,c,d)={3,3,3,3}.В първия случай е=3,а във втория е=4.

[Pinetop Smith]

6 зад.

1 н.

[tex]y^2 + y - 19 = y![/tex]

Но числото [tex]y^2 + y[/tex] e четно, защото е произведение от две последователни числа и следователно [tex]y^2 + y - 19[/tex] е нечетно. Но за всяко [tex]y > 1[/tex], [tex]y![/tex] е четно. За [tex]y = 1[/tex], лявата страна е отрицателна и отново няма решение.

2 н.

За [tex]y\ge 5[/tex], [tex]y![/tex] окончава на [tex]0[/tex]. С директна проверка се установява, че [tex]y^2 + y - 19[/tex] не завършва на [tex]0[/tex] за никое [tex]y[/tex]. Остават случаите за [tex]y\le 4[/tex] и отнова се вижда, че няма решение(за [tex]y = 4[/tex] - директно, за [tex]y \le 3[/tex], лявата страна е отрицателна).

[v1rusman]

Mag,може ли да дадеш някаква подсказка за уравненията от типа:
a!b!=a!+b!+c!,т.е когато имаме произведение на факториели ?

[Nona]

Първо да решим една още по-лесна задача.

Задача. Решете в естествени числа уравнението [tex]a!b!=a!+b!.[/tex]

Решение. Ако разделим уравнението на b!, получаваме [tex]a!=\frac{a!}{b!}+1[/tex]. Понеже лявата страна на уравнението е естествено число, [tex]\frac{a!}{b!}[/tex] също трябва да е естествено число, следователно [tex]b!\le a![/tex].
Ако разделим на а!, получаваме [tex]b!=\frac{b!}{a!}+1[/tex]. Заключаваме, че [tex]a!\le b![/tex].
Следователно [tex]a!=b![/tex], откъдето единственото решение на уравнението е [tex](a,b)=\left {2,2\right }.[/tex]

Задача 2. Решете в естествени числа уравнението [tex]a!b!=a!+b!+c!.[/tex]

Решение. Без ограничение допускаме, че [tex]a\ge b[/tex] и делим на b!.

[tex]a!=\frac{a!}{b!}+1+\frac{c!}{b!}.[/tex] Понеже всички останали числа в уравнението са цели, [tex]\frac{c!}{b!}[/tex] също е цяло, следователно [tex]c\ge b.[/tex]

[tex]\frac{a!}{b!}+1+\frac{c!}{b!}\ge 3 \Rightarrow a!\ge 3 \Rightarrow a\ge 3.[/tex]

Очевидно при a=b=c, [tex]a!=3,[/tex] което няма решение. Следователно поне едно от числата [tex]a[/tex] и [tex]c [/tex] трябва да е по-голямо от [tex]b.[/tex]

Ако [tex]a>b, \ c>b \Rightarrow (b+1)|a!, \ (b+1)|c!, \ (b+1)\not | 1,[/tex] следователно не може и a>b, и c>b.

Ако [tex]a>b, \ c=b \Rightarrow a!=\frac{a!}{c!}+2.[/tex] Тогава [tex]c+1[/tex] дели a!, но не дели 2.

Стигаме до извода, че [tex]a=b[/tex] и [tex]c>b\Rightarrow a!=2+\frac{c!}{a!}.[/tex]

Ако [tex]c\ge a+3[/tex], 3 дели a! и c!/a!, но не дели 2, следователно с не може да надвишава а с повече от 2.

Записваме уравнението като [tex]a!(a!-2)=c![/tex] и понеже [tex]a<c<a+3\Rightarrow a!< c!< (a+3)![/tex]. Следователно а!-2 е равно на (а+1)(а+2) или на (а+1).

Ако [tex]a!-2=(a+1)(a+2),[/tex] получаваме [tex]a!=a^2+3a+4[/tex]. Лявата страна се дели на а, но дясната се дели на а само когато а=4, което няма решение.

Ако [tex]a!-2=a+1,[/tex] получаваме, че [tex]a!=a+3[/tex]. Лявата страна се дели на а, но дясната се дели на а само когато [tex]a=3\Rightarrow b=3, \ c=4.[/tex]

Следователно [tex]3!3!=3!+3!+4![/tex] е единственото решение.