Задачка в/у окръжности

[MitkoBasketa]

Здравейте! Попаднах на една задачка, която няколко души неможем да решим. Сетих се, че това е едно от местата(да не кажа единственото), на което ще може да ми се помогне .
А ето я и самата задача:
Дадено е окръжност с диаметър AB=2r. В точка А е прекарана допирателна към окръжността, върху която е нанесена отсечка с дължина, по-голяма от r. до точка М. От точка М е прекарана друга допирателна, която пресича продължението на АВ в точка Р. Да се изчислят страните на триъгълника АРМ, ако се знае, че периметърът му е 8r.
Отговорите са: AP=\frac{8r}{3 } ; AM=2r; MP=\frac{10r}{3 }

Само да отметна, че ние стигаме до система с 5 неизвестни.

[Реклама]

[Tony_89]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=371

[r2d2]

Ще реша по-обща задача:
Даденa е окръжност с диаметър AB=2r. През А е построена допирателна към окръжността, върху която е нанесена отсечка АМ с дължина, по-голяма от r. Другата допирателна през М пресича продължението на АВ в Р. Да се намери минималната стойност на периметъра на триъгълника АРМ.

Означаваме[tex] \angle AMO = \mu.[/tex]
Тогава [tex]AM=NM=r\cot \mu \; \angle POM =2 \mu \; PN= r\tan 2\mu \; OP = \frac {r}{\cos \2 \mu[/tex].

За периметъра попучаваме [tex]P = r(2\cot \mu \ + \tan 2\mu + \frac {1}{\cos \2 \mu}+1)[/tex].

Имаме [tex]\tan 2\mu +\frac {1}{\cos \2 \mu}=\frac {\sin 2\mu +1}{\cos^2 \mu - sin^2 \mu}=\frac {(\cos \mu + sin \mu)^2}{\cos^2 \mu - sin^2 \mu}=\frac {\cos \mu + sin \mu}{\cos \mu - sin \mu}=\frac {\cot \mu +1}{\cot \mu -1}[/tex]

Полагаме [tex] \cot \mu -1=u [/tex]. Понеже АМ>r , u>0. Получаваме:

[tex]P=r(2(u+1)+\frac {u+2}{u} +1)= r(2(u+\frac{1}{u})+4) \ge 8r[/tex].
Минималната стойност на периметъра е 8r и се достига когато [tex]u=1 \; \Rightarrow \cot \mu=2[/tex]
Поуката от тази задача:
Тригонометрията е съществена част от геометрията. Въвеждайте като неизвестни ъгли и не се колебайте да я прилагате.