СУ- примерни теми

[Мирослав Стоенчев]

Тема 1

Задача 1. Да се определи в зависимост от реалния параметър [tex]a[/tex] броя на реалните корени на уравнението [tex]\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=a.[/tex]
(доц. Иван Тонов)

Задача 2. Да се реши уравнението [tex]\left\(\frac{1+3x}{1+2x}\right\)^{2}+\left\(\frac{1+3x}{1+4x}\right\)^{2}=\frac{40}{9}.[/tex]
(доц. Ч. Лозанов, Т. Тонова)

Задача 3. Разглеждаме множеството на всички триъгълници, дължините на страните на които образуват аритметична прогресия с разлика [tex]1.[/tex] Да се намерят всички стойности на ъгъла срещу най-голямата страна.
(доц. Иван Тонов)

Задача 4. Нека [tex]f(x)=\max_{x}\left\{\frac{x+7}{x-1},\ 3x^{2}+20x-7\right\}.[/tex]

а) Да се намери най-малката стойност на [tex]f(x);[/tex]
б) Да се намерят стойностите на параметъра [tex]a\in R,[/tex] за които уравнението [tex]f(x)=a[/tex] има единствено решение.
(доц. Ч. Лозанов, Т. Тонова)

Задача 5. Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex] за които съществува правилна [tex]n[/tex]-ъгълна пирамида, в която центърът на описаната сфера е равноотдалечен от всички ръбове на пирамидата.
(доц. Иван Тонов)

Задача 6. а) Да се реши уравнението [tex]3^{\sqrt{4x-x^{2}}}+3^{-(x-2)^{2}}=10.[/tex]
б) Да се намерят стойностите на [tex]k\in R,[/tex] за които уравнението [tex]k.3^{\sqrt{4x-x^{2}}}+3^{-(x-2)^{2}}=10[/tex] има решение.
(доц. Иван Тонов)

[Реклама]

[complex]

Мирослав Стоенчев тези задачи от къде си ги взел?

[Relinquishmentor]

[tex]\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=a.[/tex]

Полагаме [tex]sqrt{x-1} = t \Rightarrow x=t^2+1[/tex]

[tex]\sqrt{t^2-4t+4} + \sqrt{t^2-6t+9} = a[/tex]

[tex]|t-2| + |t-3| = a[/tex]

Ако a[tex]\le 0 [/tex]уравнението няма истински корени. Нека [tex]a > 0[/tex]

I случай: [tex]0\le t<2[/tex]

[tex]2-t + 3-t = a \Rightarrow t = \frac{5-a}{2}<2 \Rightarrow a>1[/tex]
[tex] \frac{5-a}{2}\ge 0 \Rightarrow a \le 5 \Rightarrow a\in (1;5][/tex]

II случай: [tex]2<t<3[/tex]

[tex]t-2 + 3-t = a \Rightarrow 0t = a-1[/tex]. Ако а = 1 [tex]t\in (2,3)\cap \mathbb{R}[/tex] = (2,3) . Ако а е различна от 1, уравнението няма решение.

III случай:[tex] t>3 [/tex]

[tex]t-2 + t-3 = a \Rightarrow t = \frac{5+a}{2}>3 \Rightarrow a>1[/tex]

Полагането е еднозначно [tex]\Rightarrow[/tex]

При a<1 - уравнението няма истински корени
При а = 1, корените на уравнението са заключени между 5 и 10, но поради принципа за непрекъснатост следва, че те са безброй много.
При [tex]1\le a\le 5[/tex] уравнението има два корена
При а>5 уравнието има един корен

На картинка изглежда така:

[Relinquishmentor]

[tex]\left\(\frac{1+3x}{1+2x}\right\)^{2}+\left\(\frac{1+3x}{1+4x}\right\)^{2}=\frac{40}{9}.[/tex]

[tex]\left\(\frac{1}{\frac{1+3x-x}{1+3x}}\right\)^{2}+\left\(\frac{1}{\frac{1+3x+x}{1+3x} }\right\)^{2}=\frac{40}{9}.[/tex]

[tex]\left\(\frac{1}{1-\frac{x}{1+3x}}\right\)^{2}+\left\(\frac{1}{1+\frac{x}{1+3x} }\right\)^{2}=\frac{40}{9}.[/tex]

Полагаме [tex]\frac{x}{1+3x} = t \Rightarrow[/tex]

[tex]\left\(\frac{1}{1-t}\right\)^{2}+\left\(\frac{1}{1+t}\right\)^{2}=\frac{40}{9}[/tex]

[tex]\frac{(1+t)^2+(1-t)^2}{[(1-t)(1+t)]^2} = \frac{40}{9}[/tex]

[tex]\frac{1+2t+t^2+1-2t+t^2}{(1-t^2)^2} = \frac{40}{9}[/tex]

[tex]\frac{2t^2+2}{(1-t^2)^2} = \frac{40}{9} [/tex]

[tex]18t^2 + 18 = 40 - 80t^2 + 40t^4[/tex]

[tex]20t^4 - 49t^2 +11 = 0[/tex]

[tex]t_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{49\pm 39}{40}} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = -\frac{1}{2},t_3 = \sqrt{\frac{11}{5}},t_4 = -\sqrt{\frac{11}{5}} [/tex]

[tex]\frac{x}{1+3x} = t \Rightarrow x=t+3xt \Rightarrow x-3xt = t \Rightarrow x = \frac{t}{1-3t} [/tex]

[tex]x_1 = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{2}} = -1 [/tex]

[tex]x_2 = \frac{-\frac{1}{2}}{1+\frac{3}{2}} = -\frac{1}{5} [/tex]

[tex]x_3 = \frac{\sqrt{\frac{11}{5}}}{1-3\sqrt{\frac{11}{5}}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5} -3\sqrt{11}} [/tex]

[tex]x_4 = \frac{-\sqrt{\frac{11}{5}}}{1+3\sqrt{\frac{11}{5}}} = - \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}+3\sqrt{11}} [/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Тема 2


Задача 1. Да се реши системата[tex]\ \begin{tabular}{|l}x=\sqrt{y+45}-\sqrt{y+5} \\y=\sqrt{x+45}-\sqrt{x+5} \end{tabular} [/tex]
(доц. И Тонов)

Задача 2. Нека [tex]f(x)=x.\tan(x)[/tex]

a) Да се намери броя на корените на уравнението [tex]f(x)+x=1,[/tex] кoито принадлежат на интервала [tex]\left\[0,2\pi\right\];[/tex]

б) Нека [tex]M[/tex] e точка от графиката на функцията [tex]f[/tex] в координатната система [tex]Oxy.[/tex] Допирателната към графиката на функцията [tex]f[/tex] в точката [tex]M[/tex] пресича ординатната ос в точка [tex]T.[/tex] Да се докаже, че [tex]|OM|^{2}=|OT|.[/tex]
(доц. И Тонов)

Задача 3. При стандартните означения за един триъгълник, да се докаже, че [tex]\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+\frac{r}{R}.[/tex]


Задача 4. Нека [tex]f(x)=x^{3}-3x+1.[/tex] Да се намери броя на различните реални корени на уравнението [tex]f(f(x))=0.[/tex]


Задача 5. Да се намери лицето на тригълник, ако дължините на отсечките съединяващи петите на височините са [tex]3,4,5.[/tex]


Задача 6. Да се докаже, че ако [tex]a,b,c\in R^{+}\cup\left\{0\right\}:\ a+b+c=1,[/tex] то в сила е неравенството [tex]\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{1-b^{2}}+\frac{1}{1-c^{2}}\ge \frac{27}{8}.[/tex]
(кандидат-студентски изпит СУ 2004г)

Задача 7. Да се докаже, че в равнината съществува единствена точка [tex]P[/tex] със свойството: за всяка права през [tex]P,[/tex] която пресича графиката на функцията [tex]y=ax^{2},\ a\ne 0,[/tex] в две различни точки [tex]A[/tex] и [tex]B,[/tex] отсечките [tex]OA[/tex] и [tex]OB[/tex] са перпендикулярни, където точка [tex]O[/tex] e началото на координатната система.

[r2d2]

[soldier_vl]

Зад.6
[tex]\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{1-b^{2}}+\frac{1}{1-c^{2}}\ge \frac{27}{8}[/tex]
[tex]\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{1-b^{2}}+\frac{1}{1-c^{2}}\ge \frac{9}{3-(a^2+b^2+c^2)}[/tex] (от Хубавото неравенство)
=> задачата се свежда до това да решим:
[tex]\frac{9}{3-(a^2+b^2+c^2)}\ge \frac{27}{8 } [/tex] /:9
<=>[tex]\frac{1}{3-(a^2+b^2+c^2)}\ge \frac{3}{8 } [/tex] /[3-(a²+b²+c²)]>0
<=>[tex]a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}[/tex]
От основното неравенство имаме a²+b²+c²≥ab+ac+bc <=> [tex]a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c+)^2}{3}[/tex]
a+b+c=1 => [tex]a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}[/tex]

[Relinquishmentor]

[tex]\ \begin{tabular}{|l}x=\sqrt{y+45}-\sqrt{y+5} \\y=\sqrt{x+45}-\sqrt{x+5} \end{tabular} [/tex]

Вижда се, че всяко решение[tex] x_0[/tex] на първото й уравнение води до същия резултат и в дясната страна на второто, затова [tex]x=y[/tex]. Тогава имаме:

[tex]x=\sqrt{x+45}-\sqrt{x+5}[/tex]

[tex]x + \sqrt{x+5} =\sqrt{x+45[/tex]}

[tex]x^2 + x + 5 +2x\sqrt{x+5} = x+45[/tex]

[tex]2x\sqrt{x+5} = 40-x^2[/tex]

[tex]4x^2(x+5) = 1600 - 80x^2 + x^4[/tex]

[tex]x^4 - 4x^3 - 100x^2 + 1600 = 0[/tex]

[tex](x-4)(x^3 - 100x - 400) = 0[/tex]

[tex]x = y = 4[/tex]

[garion]

x³-100x-400=0 също има поне едно решение

[Relinquishmentor]

Има, но не влиза в допустимите стойности.

[garion]

Не съм проверявал и ти вярвам, но и това трябва да се покаже. иначе няма да е напълно решена задачата

[Relinquishmentor]

Производната на функцията [tex]\sqrt{x+45}-\sqrt{x+5}[/tex] е отрицателна за всяко x от допустимите стойности, което означава, че тя е намаляваща, а функцията y=x е растяща. Тогава, щом се пресичат, то това става само в една точка.

[soldier_vl]

Тема 2, зад.4 може ли да се реши по този начин:
[tex]f(f(x))=(x^3-3x+1)^3-3(x^3-3x+1)+1[/tex]
t=х³-3х+1
Уравнението добива вида: t³-3t+1=0
то има 3 корена (изледваме монотонността на функцията и прилагаме Болцано)
Нека тези корени бъдат: t₁, t₂ и [tex]t_{3}[/tex]
Трябва да видим по колко корена имат следните 3 уравнения:
х³-3х+1=t₁
х³-3х+1=t₂
х³-3х+1=[tex]t_{3}[/tex]
Това ще направим като начертаем графиката на f(x) и видим при всяка стойност на у=t колко пъти се пресича графиката.
При [tex]t\in (f(-\sqrt{\frac{3}{2 } }) ; f(\sqrt{\frac{3}{2 } }))[/tex] уравнението t=х³-3х+1 има 3 корена
При t=[tex]f(-\sqrt{\frac{3}{2 } })[/tex] и t=[tex]f(\sqrt{\frac{3}{2 } })[/tex] уравненито t=х³-3х+1 има 2 корена
В останалите случаи уравнението t=х³-3х+1 има 1 корен
[tex]f(-\sqrt{\frac{3}{2 } })=-0.84[/tex]
[tex]f(\sqrt{\frac{3}{2 } })=2.84[/tex]
В интервала (-0.84; 2.84) уравнението t³-3t+1=0 има 2 корена (изод направен чрез оценка на местоположението на корените стойностите на [tex]f(-\sqrt{\frac{3}{2 } })[/tex] и [tex]f(\sqrt{\frac{3}{2 } })[/tex]) => t₁ и t₂ принадлежът на този интервал =>
х³-3х+1=t₁
х³-3х+1=t₂
Двете уравнения имат по 3 решения
[tex]t_{3}\notin [f(-\sqrt{\frac{3}{2 } }) ; f(\sqrt{\frac{3}{2 } })][/tex] => уравнението х³-3х+1=[tex]t_{3}[/tex] има едно решение
Общо решенията на уравненията:
х³-3х+1=t₁
х³-3х+1=t₂
х³-3х+1=[tex]t_{3}[/tex]
са 7 на брой => f(f(x))=0 има 7 решения

[r2d2]

Идеята на решението е вярна. Не мога да вдена от къде се получава sqrt(3/2)?

[soldier_vl]

Toва са корените на производната смис екстремумите на функцията. Защото между двата екстремума всяка константа функция пресича графиката 3 пъти

[soldier_vl]

Оказа се че имам грешка в решението на задачата ето новото решение идеята е същата

Тема 2, зад.4 може ли да се реши по този начин:
[tex]f(f(x))=(x^3-3x+1)^3-3(x^3-3x+1)+1[/tex]
t=х³-3х+1
Уравнението добива вида: t³-3t+1=0
то има 3 корена (изледваме монотонността на функцията и прилагаме Болцано)
Нека тези корени бъдат: t₁, t₂ и [tex]t_{3}[/tex]
Трябва да видим по колко корена имат следните 3 уравнения:
х³-3х+1=t₁
х³-3х+1=t₂
х³-3х+1=[tex]t_{3}[/tex]
Това ще направим като начертаем графиката на f(x) и видим при всяка стойност на у=t колко пъти се пресича графиката.
При [tex]t\in (f(-1) ; f(1)[/tex] уравнението t=х³-3х+1 има 3 корена
При t=[tex]f(-1)[/tex] и t=[tex]f(1)[/tex] уравненито t=х³-3х+1 има 2 корена
В останалите случаи уравнението t=х³-3х+1 има 1 корен
[tex]f(-1)=3[/tex]
[tex]f(1)=-1[/tex]
В интервала (-1;3) уравнението t³-3t+1=0 има 2 корена (извод направен чрез оценка на местоположението на корените стойностите на [tex]f(-1)[/tex] и [tex]f(1)[/tex]) => t₁ и t₂ принадлежът на този интервал =>
х³-3х+1=t₁
х³-3х+1=t₂
Двете уравнения имат по 3 решения
[tex]t_{3}\notin [f(-1) ; f(1)][/tex] => уравнението х³-3х+1=[tex]t_{3}[/tex] има едно решение
Общо решенията на уравненията:
х³-3х+1=t₁
х³-3х+1=t₂
х³-3х+1=[tex]t_{3}[/tex]
са 7 на брой => f(f(x))=0 има 7 решения

[sensable]

Някой може ли да реши от първата тема, третата задача?
Че на мен ми се получават някакви схеми на хорнер от четвърта степен

[soldier_vl]

Прилагаме косинусовата теорема за дадения триъгъл така че да изразим косинусът на търсения от нас ъгъл, като страните означаваме с х, х+1 и х+2. Нека този ъгъл бъде γ
cosγ=[tex]\frac{ x-3}{2x}[/tex] Но -1≤cosγ≤1 => x≥1
γ=arccos[tex]\frac{ x-3}{2x}[/tex] при х≥1

[Relinquishmentor]

[soldier_vl]

[bobson]

Здравейте

Абе хора, от два часа мисля последната задача на първата тема и нещо б-подточка хич не се получава. Дайте няква идея, моля ви.

[ins-]

Тема 2 - задачи 3 и 4 са задачи от НОМ 3 кръг 1998 година.

[bobson]

На паследната задача от първата тема - единственото нещо, което ми идва наум е да преставя уравнението като к = f(x) и после да начертая графиката на f(x) ма става много кофти.

Имате ли други идеи?
Мерси предварително.

[soldier_vl]

[bobson]

за а) подточка 4х - х^2 = -(x - 2)^2 + 4 и след това полагам 3^(-(x-2)^2) = t и решавам уравнението, накрая получих, че х=2 е единствено решение

[r2d2]

И за двете подточки. ДМ [tex]x \in [0;4][/tex]. Вижда се, че ако x=2-u e реш. то и x=2+u e.
Така, че ще търсим решения за [tex]x \in A=[0;2][/tex].

Нека [tex]f(x)=3^{\sqrt {4x-x^2}}[/tex]. За [tex]x \in A[/tex] f(x) расте и взима всички стоиности от f(0)=1 до f(2)=9 или [tex]1 \le f(x) \le 9.[/tex]
Нека [tex]g(x)=3^{-(x-2)^2}[/tex]. Отново [tex]x \in A[/tex] g(x) расте и взима всички стоиности от g(0)=1/81 до f(2)=1 или [tex]\frac{1}{81} \le g(x) \le 1.[/tex].

Tогава при к>0 [tex]k+\frac{1}{81} \le kf(x)+g(x) \le 9k+1[/tex], значи за да има реш. 10 трябва да е м/у тези две числа.

[bobson]

Мерси много за отговора, всичко разбрах

[bobson]

Кажи няква идея за последната задача на втората тема
Мерси предварително

[Methuselah]

Нека имаме точката Р(х₀,у₀) Искаме да вземем снопът от прави, които минават през тази точка.
y=ax+b
y₀=ax₀+b

y-y₀=a(x-x₀)
y=ax-ax₀+y₀

Дадена ни е функцията y=px² и нека тя има 2 пресечни точки с права от снопът, който взехме.
Имаме уравнението:
px²-ax+ax₀-y₀=0
,което има 2 решения за 2те пресечни точки: х₁ и х₂
За да бъдат 2 те прави ОА и ОВ перпендикулярни трябва: p².x₁².x₂²/x₁.x₂=-1

Това е като идея...

[bobson]

то от тук следва, че у₀=а*х₀ + 1 откъдето пък идва, че b = 1 ... а после кво прайм не ми се смей че питам ... от СМГто съм и малко бавно загрявам