Задача

[*UKTC*]

∫√(1+x²)dx

[Реклама]

[xyz]

Провери следното:
[tex]r=\sqrt{x^2+a^2}[/tex]
[tex]\int r \;dx = \frac{1}{2}\left(x r +a^2\,\ln\left(x+r\right)\right)[/tex]

ПП По-долу оставям и първоначално публикуваното от мен мнение, за да ми се посмеете... Там, обаче, ще видите откъде намерих горната формула.

Възможно ли е този интеграл да е неразрешим? Не гарантирам това, разбира се (още повече, че с интеграли отдавна не съм се занимавал).
Опитвайки се да реша задачата погледнах тук:
[url]http://bg.wikipedia.org/wiki/Таблица_с_интеграли_на_ирационални_функции[/url]
В частта, където се дефинира R втората формула може да се използва. Така задачата се свежда до изчисляването на:
[tex]\int {x^2 \over \sqrt{1+x^2}} \;dx[/tex]
което си е интеграл от вида:
[tex]\int {x^2 \over R} \;dx[/tex],
а такова нещо няма в споменатата таблица.

[r2d2]

Eто един начин за решаване:

[Infernum]

Със субституцията

[tex]x=\sinh t[/tex]

интеграла се свежда до

[tex]\int_{}\cosh^2t dt=\frac{1}{2}\int_{}\cosh 2t +1dt=\frac{\sinh 2t}{4}+\frac{t}{2} +const[/tex]

След преобразуване имаш

[tex]\frac{\sinh t \cosh t +t}{2}=\frac{\sinh t \sqrt{1+ \sinh^2 t} +t}{2}=\frac{x\sqrt{1+x^2}+\sinh^{-1} x}{2}[/tex]

И така

[tex]\int_{}\sqrt{1+x^2}dx=\frac{x\sqrt{1+x^2}+\sinh^{-1} x}{2}+const[/tex]

Лесно може да се докаже, че

[tex]\sinh^{-1} x=\ln(x+\sqrt{1+x^2}),[/tex]

но това дори не е необходимо.

[r2d2]

Горното, разбира се е вярно. Проблемът е, че за повечето хора sinh =?!?

[Infernum]

За тези, които не знаят [tex]\sinh x[/tex] означава синус хиперболичен от хикс. Дефинира се с равенството

[tex]\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.[/tex]

Функцията [tex]\cosh x[/tex] се нарича косинус хиперболичен и се дефинира с равенството

[tex]\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/tex]

Тези функции се наричат хиперболични, тъй като с тях може да се параметризира хиперболата, а поради аналогичните съотношения, които съществуват между тригонометричните функции, тези функции се наричат синус и косинус хиперболичен.
Лесно може да се докаже основното хиперболично тъждество,

[tex]\cosh^2x-\sinh^2x =1[/tex]

което се използва неколкократно при пресмятането на интеграла. От това тъждество се извеждат всички останали съотношения, както е в случая с тригонометричните функции.
Сами виждате ползата от тях.