Задача

[qwerradi]

Моля помогнете за следната задача

В окръжност с радиус 30 са вписани шест еднакви окръжности, всяка от които се допира до дадената окръжност и до точно две от останалите (виж чертежа). Да се намери радиусът на еднаквите окръжности.

[Реклама]

[Grands]

[tex]r=5[/tex]

[qwerradi]

отговора е 10, но как се получава??
Помагайте

[r2d2]

Нека радиусът на окр. е r, а броят на окръжностите n.
От триъгълника ОАВ имаме [tex]AB=OA \sin \angle OAB \Rightarrow x = (r-x) \sin \frac {\pi}{n} \Rightarrow x=r \frac{\sin \frac {\pi}{n}}{1+\sin \frac{\pi}{n}}[/tex].

При [tex]n=6 \angle AOB = 30^\circ[/tex] катетът АВ е половината от ОА.
От [tex]2x = r-x \Rightarrow x=\frac{r}{3}[/tex]