Теория за вектори

[b1ck0]

Здравейте,

Нека имаме задача:

Да се намери обема на тетраедър, който има върхове с координати: [tex] A(1,2,3), B(3,4,5), C(5,6,7), V(7,8,9)[/tex]. В този случай постъпваме по следния начин:

[tex]\vec{AB}(3-1;4-2;5-3) \Leftrightarrow \vec{AB}(2;2;2)[/tex] и така намираме координатите на [tex]\vec{AC} \vec{AV}[/tex] след това намираме обема по формулата:
[tex]V = \frac{1}{6}\vec{AB}.\vec{AC}.\vec{AV} [/tex]

Това ясно, въпросът ми е как да намерим лицето на триъгълник като са ни дадени координатите на върховете [tex]A,B,C[/tex]

Аз намирам координатите на векторите, но не знам формулата за лице на ▲-к, изразена с вектори

Благодаря предварително!

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Лесен начин няма. Един от начините е с Херон, друг начин - като си припомним геометричния смисъл на модула на векторното произведение.

[b1ck0]

Не ми трябва с херон, така я реших на контролното и ми отнеха точки. Просто не присъствах на лекцията ( както и на упражнението ) за вектори и съм изтървал този момент.


Май сам открих отговора:

Нека [tex]\vec{a} \& \vec{b}[/tex] са страни на нашия триъгълник, то :

[tex]S = \frac{ \vec{a} x \vec{b} }{ 2 }[/tex]

[Relinquishmentor]

Имаме три точки A,B & C. От тях определяме например векторите [tex]\vec{AB} \& \vec{AC}[/tex] (важно е началата им да съвпадат). Тогава [tex]|\vec{AB}\times\vec{AC}|[/tex][tex] = |\vec{AB}||\vec{AC}| \|{sin\alpha}|[/tex] или това е лицето на успоредника с рамене векторите [tex]\vec{AB}\&\vec{AC}[/tex] . Като намерим векторното произведение с координатите, т.е. [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1\\x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}[/tex] и разделим полученото на две, ще получим половината от лицето на успоредника, т.е. търсения триъгълник.

Или окончателно:

[tex]S_{ABC} =\frac{1}{2 } | \begin{vmatrix} \vec{i} \& \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1\\x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} |[/tex]

[b1ck0]

Отново, Благодаря

[efi4ka8899]

За лицето можеш да използваш и следната формула която ми се струва по-рационална

[tex]S=\frac{1}{2} | \vec{a} \times \vec{b} |[/tex]

[Infernum]

Формулата изобщо не е по-рационална. Това е същата формула, обяснена подробно по-горе.