Ъглополовящите....

[martinmaestro]

Хора, ъглополовящите в един триъгълник пресичат ли се в една точка, ако да как се доказва това?

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Да. Използвай, че една точка лежи на ъглополовящата на даден ъгъл тогава и само тогава, когато е на равни разстояния от раменете му.

Подобна идея се използва и когато доказваш, че симетралите се пресичат в една точка: една точка лежи на симетралата на дадена отсечка тогава и само тогава, когато е на равни разстояния от краищата й.

Само не питай за медианите и височините, че там "играта загрубява"...

[martinmaestro]

[Pinetop Smith]

Радвам, че ти е интересно!

Като начало, реши следната задача:

Даден е триъгълник АВС, М е среда на АС и [tex]MP||AB[/tex]([tex]P \cup BC)[/tex]). Да се докаже, че Р е среда на ВС и [tex]MP = \frac{AB}{2} [/tex].

Отсечката МР е средна отсечка в триъгълник АВС. Това е материал от осми клас, но явно ти е интересно, пък и доказателството използва теореми от седми.
Ако се затрудняваш - кажи, ще те упътя за допълнително построение.

Сега, приложи това за височините(помисли как! Отново се нуждаеш от построение) и сведи задачата до симетралите.

Сега за медианите. Отново ще се нуждаеш от средна отсечка. Упътване: ако АМ и ВР са медиани и Т е пресечната им точка, докажи, че АТ:ТМ = ВТ:ТР = 2:1. После мисли какво ще правиш с третата медиана.

Успех!!!

[martinmaestro]

[Pinetop Smith]

Toва да не би защото без да искал съм писал на кирилица в латекса? Ето така трябва да е:

[martinmaestro]

Реших я задачата, а за височините допълнително ще мисля.

[Pinetop Smith]

Да, правилно решение, но може и по-кратко. След като докажеш еднаквостта на АКМ и МРС, следва МК = СР. КВРМ - успоредник => МК = ВР => Р - среда. После АК = МР, КВ = МР =>[tex] MP= \frac{AB}{2} [/tex]

Сега сведи задачата за височините до задачата за симетралите.