Неравенството от ЗМС 2007

[Pinetop Smith]

Във втората задача от темата за 8 клас 2007 година е дадено, че [tex]4(x+y) = 3(x^2 + xy + y^2)[/tex]. Трябва да се докаже, че [tex]x+y\in [0;\frac{16}{9}][/tex].

Че х + у ≥ 0 е ясно. Останалото го правя така:

1) записвам равенството като

[tex]3x^2 + (3y-4)x + 3y^2 - 4y = 0[/tex]

2) [tex]D = -27y^2 + 24y + 16 \ge 0[/tex] [tex]<=>[/tex] [tex](y+\frac{8}{3})(y-\frac{8}{9}) \le 0 [/tex]

3) [tex]y \in [-\frac{8}{3} ; \frac{8}{9}] [/tex] т.е. [tex]y\le \frac{8}{9}[/tex].

4) Aналогичен извод правя за х, събирам почленно и получавам исканото.

Да, но този начин ми се струва прекалено дълъг(така написан изглежда кратък, но иначе е 3 стр. голям формат на ръка) и някакси не ми се вярва, че такава идея са имали авторите на задачата. Та ако някой даде по-"бързо" решение, ще бъда благодарен...

[Реклама]

[JusTok]

[tex]4(x+y)-3(x^2+y^2+xy)=0[/tex]
[tex]4(x+y)-3(x^2+y^2+xy)-3xy=-3xy[/tex]
[tex]4(x+y)-3(x^2+y^2+2xy)=-3xy[/tex]
[tex]4(x+y)-3(x+y)^2=-3xy[/tex]
[tex](x+y)(4-3(x+y))=-3xy[/tex]
[tex](x+y)(x+y-4/3)=xy[/tex]
Полагаме a=x+y
[tex]a(a-4/3)=x(a-x)[/tex]
[tex]x^2-xa+a^2-a4/3=0[/tex]
[tex]D=a^2-4a(a-4/3)[/tex]
[tex]D=a(a-4a+16/3)[/tex]
[tex]D=a(-3a+16/3)[/tex]
[tex]-a(3a-16/3)\ge 0[/tex]
[tex]a(a-16/9)\le 0[/tex]
и оттук намираме че 0 ≤a ≤16/9
доста лесна задача за зимни

[Pinetop Smith]

Браво, значително по-кратко!

[r2d2]

[Pinetop Smith]

Малка техническа грешка - неравенството накрая е

[tex]a(a-\frac{16}{9}) \le 0[/tex]