Показателно уравнение с параметър

[Infernum]

Решете уравнението, в зависимост стойностите на реалния праметър а:
(2 + (3*sqrt(3))^(1/3))^(x/2) + (2 - (3*sqrt(3))^(1/3))^(x/2) = 2a

[Реклама]

[Lubo]

Infernum, това е страхотна задача!

Новата ми работа ми 'изяжда' на парктика цялото време, но тази задача не 'ми даваше покой' и вече на няколко пъти се връщах към нея, въпреки изключително оскъдните минути свободно време, което мога 'открадна'.

Най-накрая успях да се 'преборя' с нея...

Решението е дадено по-долу. Дано 'картинката' да се вижда ясно. че напоследък имам проблеми с ясното виждане на изображенията.

Умишлено съм прескочил алгебричните преобразувания, които не са много сложни, но биха отнели много място.

Благодаря за хубавата задача!!!



Любо

[Lubo]

Изпуснал съм една '2'-ка.

Написанит по-горе решения за х1,2 трябва да се умножат по '2' за да се стигне до истинските.

Същото се отнася и когато се прави поверката, че х1+x2 = 0, въпреки, че тук тази '2'-ка не променя '0'-та като краен сбор на корените.

Любо

[Infernum]

Тук обаче, в тази задача, се случва нещо, дето не ми харесва!!!Мисля обаче, че ще стане интересен повод за дискусия.
То е следното:
Уравнението
(2+3^1/2)^х/2 + (2-3^1/2) ^х/2 =2а
може по еднакъв начин да се сведе към следните уравнения:
(2+3^1/2)^х + (2+3^1/2) ^-х/2 =2а
или
(2-3^1/2)^-х/2 + (2-3^1/2) ^х =2а
Което става като използваме че:
2+3^1/2=1/(2-3^1/2)
и
2-3^1/2=1/(2+3^1/2)
Структурата на двете уравнения е еднаква.
Тя е:
t²-2at+1=0
Където за първото уравнение
t=(2+3^1/2)^х/2,
а за второто
t=(2-3^1/2)^х/2
И така, дискриминантата на това квадратно уравнение е:
а²-1
Когато тя е неотрицателна, а това се случва когато lal>=1, се оказва че при а>=1 и двата корена
t_1,2=а+-(а²-1)^1/2
са неотрицателни.
Тогава за Първото уравнение при а>=1
х=2ln(а+-(а²-1)^1/2)/ln(2+3^1/2)
a за второто
х=2ln(а+-(а²-1)^1/2)/ln(2-3^1/2)=-2ln(а+-(а²-1)^1/2)/ln(2+3^1/2)
Ясно е че при а<1 уравнението няма решение.
В крайна сметка, се оказа, че уравнението има не два ами четири корена???

[Infernum]

Има и още нещо:
Уравнението, можем да прeдставим така:
1/2*[e^{x/2*ln(2+sqrt(3))}+e^{x/2*ln(2-sqrt(3))}]=a
което е еквивалентно на:
1/2*[e^{x/2*ln(2+sqrt(3))}+e^{-x/2*ln(2+sqrt(3))}]=a
или
1/2*[e^{x/2*ln(2-sqrt(3))}+e^{-x/2*ln(2-sqrt(3))}]=a
Отново се получиха две уравнения, които могат да се запишат така:
ch[x/2*ln(2+3^1/2)]=a
и
ch[x/2*ln(2-3^1/2)]=a

*заб:
функцията у=ch(x)=1/2*(е^x+е^-x) се нарича хиперболичен косинус и е дефинирана за всяко реално х, а множеството и от стойности е у>=1

За тази задача, директно от забележката следва, че уравненията (следователно и изходното) нямат решение при а<1.
Ако използваме обратната функция на хиперболичния косинус у=ch(x), а тя
е x=Аrcch(y), за решенията на уравненията се получава:

x/2*ln(2+3^1/2)=Аrcch(а)
и
x/2*ln(2-3^1/2)=Аrcch(а)
откъдето:
х=2Аrcch(а)/ln(2+3^1/2)
и
х=2Аrcch(а)/ln(2-3^1/2)=-2Аrcch(а)/ln(2+3^1/2)

Като се вземе предвид че:
Аrcch(а)=ln(а+-(а²-1)^1/2)
и заместим в горните две равенства, се стига отново до 4-те реални корена получени по горе....

[Lubo]

Az ne sam pravil analiz na korenite polucheni ot razlichnite predstavyaniya, no nay-nay-veroqtno tova shte sa dvoyni koreni (povtaryaqshti se) i zaradi tova ne sam izsledval drugite pod-klonove na uravnenieto.
Vizh graphichnoto predstavyane - ima (v na-dobriya sluchay) samo dve presechni tochki na sumarnata kriva i pravata s yravnenie y = 2a.

Lubo

[M_Velinova]