Геометрично място на забележителни точки

[Grands]

Наскоро ми станаха интересни геометричните места на забележителните точки в триъгълника. Ако едната страна (AB) е фиксирана, а върхът C се движи по права, успоредна на AB, каква фигура ще описват забележителните точки. За медицентъра е ясно - две прави, успоредни на AB и на разстояние от AB, равно на 1/3 от разстоянието до успоредната права.

Ортоцентъра се движи по дъга с краища върховете A и B.

При центъра на вписаната окръжност става по-интересно: със Geometer's Sletchpad получих, че точката се движи по елипса (поне ми прилича на такова), прекъсната в точките, в който пресича AB. Интересно ми е обаче кои са фокусите на тази елипса. Най-логично е това да са върховете A и B, но тогава трябва да се докаже, че сбора AI+BI, където I е центъра на вписаната окръжност е константа, което не мога да докажа. Но от опита с програмата като че ли точките A и B лежат на самата елипса.

[Реклама]

[Grands]

Никой ли няма идеи?