граница на функция с модули

[zhivo_zad]

Сега се затрудних пък на граници с модули. Ако може да помогне някои да каже какво да я правя тази граница?

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{x^2+|x|+x}{x^2-|x|+3x} [/tex]

[Реклама]

[vladob]

За x>0, |x|=x

[tex]\lim_{x \to 0}\frac {x^2 + |x|+x} {x^2-|x|+3x}= \lim_{x \to 0}\frac {x^2 + x+x} {x^2-x+3x}= 1 [/tex]

За x<0, |x|=-x

[tex]\lim_{x \to 0}\frac {x^2 + |x|+x} {x^2-|x|+3x}= \lim_{x \to 0}\frac {x^2 - x+x} {x^2+x+3x}= \lim_{x \to 0} \ \ \frac {1} {1+\frac{4}{x}} = 0[/tex]

[Infernum]

Извода, който следва да се направи от този пример е, че границата

[tex]\lim_{x \to 0}f(x)[/tex]

на функцията

[tex]f(x)=\frac{x^2+|x|+x}{x^2-|x|+3x}[/tex]

не съществува.
Причината за това е, че

[tex]\lim_{x \to 0_+}f(x)\ne \lim_{x \to 0_-}f(x).[/tex]