Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
goge6 Начинаещ
Регистриран на: 03 Jan 2008 Мнения: 3
|
Пуснато на: Thu Jan 03, 2008 3:21 pm Заглавие: Да се намери границата - задача |
|
|
Да се докаже че редицата an е сходяща и да се намери границата и, ако
[tex]a_1=\sqrt{2}[/tex]
[tex]a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex]
[tex]a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+sqrt{2}}}[/tex]
...............................................
[tex]a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Thu Jan 03, 2008 4:10 pm Заглавие: |
|
|
Очевидно an>0 за всяко естествено n.
От друга страна
a1=√2<2
.............................................
an+1=√(2+an)<√(2+2)=2
Следователно 0<an<2.
Тогава
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2+a_n}}{a_n}=\sqrt{\frac{2}{a_n^2}+\frac{1}{a_n}}>\sqrt{\frac{2}{2^2}+\frac{1}{2}}=1[/tex]
Седователно редицата е монотонна и ограничена, откъдето следва, че тя е сходяща. Ако L е нейната граница, то при n->∞
от an+1=√(2+an) се получава L2 - L - 2 = 0.
Откъдето L = 2. |
|
Върнете се в началото |
|
|
goge6 Начинаещ
Регистриран на: 03 Jan 2008 Мнения: 3
|
Пуснато на: Thu Jan 03, 2008 10:55 pm Заглавие: |
|
|
мерси много |
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Fri Jan 04, 2008 12:40 pm Заглавие: |
|
|
Infernum написа: | an+1=√(2+an)<√(2+2)=2 |
Как получи това неравенство? |
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Fri Jan 04, 2008 12:44 pm Заглавие: |
|
|
Grands написа: | Infernum написа: | an+1=√(2+an)<√(2+2)=2 |
Как получи това неравенство? |
Получава се по индукция. Иначе може да се докаже с принципа за пълната математическа индукция |
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Fri Jan 04, 2008 12:50 pm Заглавие: |
|
|
Тогава трябва да докажеш, че an<2. Това не ми е ясно. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Fri Jan 04, 2008 1:54 pm Заглавие: |
|
|
Ами аз бих казал, че то е очевидно, но щом държиш, ето доказателство:
При n=1 имаш a1 = √2 < 2, т.е неравенството е изпълнено.
При n=2, a2=√(2+a1) < √(2+2) = 2, т.е. неравенството отново е изпълнено.
Допускаш, че неравенството an < 2 е изпълнено за някое n = k, т.е., че ak < 2 .
Тогава имаш ak+1=√(2+ak) < √(2+2) = 2, т. е. неравенството се оказва вярно и за n = k+1.
Съгласно принципа на пълната математическа индукция, за всяко естествено число n е в сила an < 2. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|