Регистрирайте сеРегистрирайте се

Да се намери границата - задача


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
goge6
Начинаещ


Регистриран на: 03 Jan 2008
Мнения: 3


МнениеПуснато на: Thu Jan 03, 2008 3:21 pm    Заглавие: Да се намери границата - задача

Да се докаже че редицата an е сходяща и да се намери границата и, ако
[tex]a_1=\sqrt{2}[/tex]
[tex]a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex]
[tex]a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+sqrt{2}}}[/tex]
...............................................
[tex]a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Thu Jan 03, 2008 4:10 pm    Заглавие:

Очевидно an>0 за всяко естествено n.

От друга страна

a1=√2<2
.............................................
an+1=√(2+an)<√(2+2)=2

Следователно 0<an<2.

Тогава

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2+a_n}}{a_n}=\sqrt{\frac{2}{a_n^2}+\frac{1}{a_n}}>\sqrt{\frac{2}{2^2}+\frac{1}{2}}=1[/tex]

Седователно редицата е монотонна и ограничена, откъдето следва, че тя е сходяща. Ако L е нейната граница, то при n->∞
от an+1=√(2+an) се получава L2 - L - 2 = 0.

Откъдето L = 2.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
goge6
Начинаещ


Регистриран на: 03 Jan 2008
Мнения: 3


МнениеПуснато на: Thu Jan 03, 2008 10:55 pm    Заглавие:

мерси много
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Jan 04, 2008 12:40 pm    Заглавие:

Infernum написа:
an+1=√(2+an)<√(2+2)=2


Как получи това неравенство?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Fri Jan 04, 2008 12:44 pm    Заглавие:

Grands написа:
Infernum написа:
an+1=√(2+an)<√(2+2)=2


Как получи това неравенство?


Получава се по индукция. Иначе може да се докаже с принципа за пълната математическа индукция Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Jan 04, 2008 12:50 pm    Заглавие:

Тогава трябва да докажеш, че an<2. Това не ми е ясно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Fri Jan 04, 2008 1:54 pm    Заглавие:

Ами аз бих казал, че то е очевидно, но щом държиш, ето доказателство:

При n=1 имаш a1 = √2 < 2, т.е неравенството е изпълнено.
При n=2, a2=√(2+a1) < √(2+2) = 2, т.е. неравенството отново е изпълнено.
Допускаш, че неравенството an < 2 е изпълнено за някое n = k, т.е., че ak < 2 .
Тогава имаш ak+1=√(2+ak) < √(2+2) = 2, т. е. неравенството се оказва вярно и за n = k+1.
Съгласно принципа на пълната математическа индукция, за всяко естествено число n е в сила an < 2. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.