Трудно тригонометрично неравенство

[administrator]

Докажете, че:
[tex](1 + \frac{1}{sin(\alpha)})(1 + \frac{1}{cos(\alpha)})>5[/tex]

Неравенството може да ви послужи като подготовка за изпита в СУ.

r2d2 е абсолютно прав, че трябва да има ограничение за ъгъла.

[tex]\alpha[/tex] е остър

[Реклама]

[Георги Т. Вълчев]

[r2d2]

Неравенството, така написано, не е вярно. Трябва да има някакво ограничение за [tex]\alpha[/tex].

[administrator]

Ще е интересно г-н Вълчев
да видим цялото решение.

[steliyan]

..грешка..

[r2d2]

Да се намери най-малката стойност на [tex]f(x)=(1+\frac {1}{\sin x})(1+\frac {1}{\cos x})[/tex] за [tex]0<x<\pi/2[/tex].
Нека [tex]h(x)=\frac {\sin x+ \cos x +1}{sin x + \cos x }[/tex]. f(x)=h(x)+1.

Ще намерим най- малката ст. на h(x).
Полагаме [tex]\sin x + \cos x = u[/tex]. Понеже [tex]u=\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})\Rightarrow 1<u \le sqrt{2}[/tex]. Намираме [tex]2\sin x \cos x =u^2-1[/tex].

[tex]h(u)=\frac{2(u+1)}{u^2-1}=\frac {2}{u-1} \ge \frac{2}{\sqrt{2}-1}=2\sqrt{2}+2[/tex]. И така [tex]f(x) \ge 3+2\sqrt{2}[/tex]. Toва е бая повече от 5