Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Dec 30, 2007 12:16 pm Заглавие: равностранен триъгълник |
|
|
Задача. Ъглополовящите на [tex]\triangle ABC[/tex] пресичат страните му в точки [tex]D,E,F[/tex]. Да се докаже, че необходимо и достатъчно условие, [tex]\triangle ABC[/tex] да бъде равностранен е [tex]S_{DEF}=\frac14S_{ABC}[/tex].
(Предложена от Ngoc Dam) |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Pinetop Smith Фен на форума
Регистриран на: 12 May 2007 Мнения: 961 Местожителство: Хасково гласове: 87
|
Пуснато на: Sun Dec 30, 2007 1:42 pm Заглавие: |
|
|
Лицето на триъгълник DEF е [tex]\frac{2abcS}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex], където а, b и с са страните на АВС, а S е неговото лице.
http://mathworld.wolfram.com/IncentralTriangle.html
Използвайки тази формула и след преобразувания, равенството записваме така:
[tex]-\frac{(ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a-6abc)S}{4(a+b)(b+c)(c+a)} = 0[/tex]
[tex]S>0[/tex][tex]=>[/tex][tex]ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a=6abc[/tex]
Но
[tex]a(b^2+c^2)\ge 2abc[/tex], което е очевидно, както е ясно и че равенство се достига за b = c. Аналогично a = c и оттук АВС е равностранен.
Една задача и от мен:
При стандартни означения за триъгълник АВС, да се докаже, че той е равностранен тогава и само тогава, когато
[tex]S = \frac{1}{6}(ah_b + bh_c + ch_a)[/tex](Олимпиада в Ню Йорк - 1980 година) |
|
Върнете се в началото |
|
|
Baronov Напреднал
Регистриран на: 05 Jun 2008 Мнения: 316
гласове: 39
|
Пуснато на: Mon Jun 30, 2008 12:24 am Заглавие: |
|
|
Николай.Каракехайов написа: |
Една задача и от мен:
При стандартни означения за триъгълник АВС, да се докаже, че той е равностранен тогава и само тогава, когато
[tex]S = \frac{1}{6}(ah_b + bh_c + ch_a)[/tex](Олимпиада в Ню Йорк - 1980 година) |
Нека а≥b≥c. Тогава ha≤hb≤hc. От неравентството на Чебишов следва: [tex] S= \frac{1}{6}(ah_b + bh_c + ch_a) \geq \frac{1}{6}(ah_a + bh_b + ch_c) = S [/tex]. Тоест в неравентсвото на Чебишов имаме равентство, откъдето следва, че триълникът е равнобедрен. Сега от условието лесно следва, че е и равностранен. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|