Регистрирайте сеРегистрирайте се

равностранен триъгълник


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Sun Dec 30, 2007 12:16 pm    Заглавие: равностранен триъгълник

Задача. Ъглополовящите на [tex]\triangle ABC[/tex] пресичат страните му в точки [tex]D,E,F[/tex]. Да се докаже, че необходимо и достатъчно условие, [tex]\triangle ABC[/tex] да бъде равностранен е [tex]S_{DEF}=\frac14S_{ABC}[/tex].

(Предложена от Ngoc Dam)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sun Dec 30, 2007 1:42 pm    Заглавие:

Лицето на триъгълник DEF е [tex]\frac{2abcS}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex], където а, b и с са страните на АВС, а S е неговото лице.

http://mathworld.wolfram.com/IncentralTriangle.html

Използвайки тази формула и след преобразувания, равенството записваме така:

[tex]-\frac{(ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a-6abc)S}{4(a+b)(b+c)(c+a)} = 0[/tex]

[tex]S>0[/tex][tex]=>[/tex][tex]ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a=6abc[/tex]

Но

[tex]a(b^2+c^2)\ge 2abc[/tex], което е очевидно, както е ясно и че равенство се достига за b = c. Аналогично a = c и оттук АВС е равностранен.

Една задача и от мен:

При стандартни означения за триъгълник АВС, да се докаже, че той е равностранен тогава и само тогава, когато

[tex]S = \frac{1}{6}(ah_b + bh_c + ch_a)[/tex](Олимпиада в Ню Йорк - 1980 година)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Mon Jun 30, 2008 12:24 am    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:


Една задача и от мен:

При стандартни означения за триъгълник АВС, да се докаже, че той е равностранен тогава и само тогава, когато

[tex]S = \frac{1}{6}(ah_b + bh_c + ch_a)[/tex](Олимпиада в Ню Йорк - 1980 година)


Нека а≥b≥c. Тогава ha≤hb≤hc. От неравентството на Чебишов следва: [tex] S= \frac{1}{6}(ah_b + bh_c + ch_a) \geq \frac{1}{6}(ah_a + bh_b + ch_c) = S [/tex]. Тоест в неравентсвото на Чебишов имаме равентство, откъдето следва, че триълникът е равнобедрен. Сега от условието лесно следва, че е и равностранен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.