Регистрирайте сеРегистрирайте се

Национална Студентска Олимпиада по Математика


 
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Sat Dec 29, 2007 10:00 pm    Заглавие: Национална Студентска Олимпиада по Математика

В тази тема ще бъдат публикувани задачи от Националната Студентска Олимпиада по Математика, група А - Университети. Всеки участник във форума може да записва решения, желателно е да се използва латех.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Sat Dec 29, 2007 10:47 pm    Заглавие: НСОМ

Национална Студентска Олимпиада по Математика, 2 юни 2007г


Задача 1. Нека [tex]M[/tex] е [tex]m\times m[/tex] матрица с елементи [tex]0,1[/tex] такава, че всеки ред на [tex]M[/tex] съдържа точно [tex]k+1[/tex] единици, и за всеки [tex]i\ne j,[/tex] [tex]1\le i,j\le m[/tex] съществува единствено [tex]p,[/tex] [tex]1\le p\le m,[/tex] за което [tex]a_{ip}=a_{jp}=1.[/tex] Да се докаже, че:

а) [tex]m=k^{2}+k+1[/tex]
б) Всеки стълб на [tex]M[/tex] съдържа точно [tex]k+1[/tex] единици
в) Съществува такава матрица при [tex]m=7[/tex]

Задача 2. a) Да се докаже, че съществува неконстантна непрекъсната периодична функция [tex]f:R\rightarrow R,[/tex] удовлетворяваща уравнението [tex]f(x+1)+f(x-1)=pf(x),[/tex] тогава и само тогава, когато [tex]|p|\le2.[/tex]

б) При [tex]p=\sqrt{2},[/tex] да се намери решение с период цяло число.

Задача 3. Да се докаже, че:

а) [tex]\sqrt{1+x}=\cos\left\(\frac{\arcsin(x)}{2}\right\)+\sin\left\(\frac{\arcsin(x)}{2}\right\),[/tex] за [tex]x\in \left\[0,1\right\][/tex]

б) [tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin(2t))\cos(t)dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos^{2}(t))\cos(t)dt,[/tex] за всяка непрекъсната функция [tex]f:\left\[0,1\right\]\rightarrow R.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Sun Dec 30, 2007 12:09 am    Заглавие:

Зад 3 а). Решение.

Полагаме [tex]\arcsin x = \alpha [/tex] , където [tex]\sin \alpha = x [/tex];


[tex]\alpha \in \left[ { - \frac{{\pi}}{2},\frac{{\pi}}{2}} \right],x \in \left[ {0,1} \right] = >\sin \alpha \in \left[ {0,1} \right] = > \alpha \in \left[ {0,\frac{{\pi}}{2}} \right] [/tex]

Тогава имаме:

[tex]\begin{array}{l} \cos \frac{\alpha }{2} + \sin \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 + \sin \alpha } \\ \left( {\cos \frac{\alpha }{2}>0, \sin \frac{\alpha }{2} > 0} \right) \\ \Leftrightarrow \cos ^2 \frac{\alpha }{2} + \sin ^2 \frac{\alpha }{2} + 2\cos \frac{\alpha }{2}.\sin \frac{\alpha}{2} = 1 + \sin \alpha \\ \Leftrightarrow 1 + \sin \alpha = 1 + \sin \alpha \\ \end{array} [/tex]

С това задачата е решена.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Wed Jan 02, 2008 2:27 pm    Заглавие:

Задача 1 наистина ли е давана на студентска олимпиада? В нея почти се описват началните елементарни факти, свързани с понятието "крайна проективна геометрия от ред k". Ето например точка в) се дава с добре известната картинка...

Иначе относно това:
Цитат:
нека LaTex стане задължителен!

то съм останал с впечатление, че препоръките в този сайт е LaTex по възможност за се избягва, за да се намали трафикът по отношение на показваните формули като картинки. Именно и затова, ползвам когато мога единствено <sub> и </sub>.



p1.png
 Description:
 Големина на файла:  2.08 KB
 Видяна:  3609 пъти(s)

p1.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
administrator
Site Admin


Регистриран на: 12 Oct 2005
Мнения: 284
Местожителство: София(Варна)
Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6
гласове: 14

МнениеПуснато на: Mon Jan 21, 2008 1:47 pm    Заглавие:

xyz е напълно прав!

До 1-2 месеца ще бъдат качени в сайта задачи от студентски олимпиади в различни страни.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя Yahoo Messenger
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Thu Jan 24, 2008 5:43 pm    Заглавие:

Национална Студентска Олимпиада по Математика, 13 май 2006


Задача 1. Нека [tex]A[/tex] е квадратна матрица от ред [tex]n[/tex] с елементи [tex]a_{ij}=i.j,\ a\ f(x)=\det(Ax+E)[/tex] е функция на реалната променлива [tex]x.[/tex]

a) Пресметнете [tex]f'(0),[/tex] при [tex]n=4;[/tex]

b) Пресметнете [tex]f'(0),[/tex] за приозволно [tex]n\in N.[/tex]


Задача 2. Нека множеството на естествените числа [tex]N[/tex] е записано по някакъв начин като редица: [tex]\alpha=\left\{a_{1},a_{2},...,a_{n},...\right\}.[/tex]

a) Докажете, че съществува границата [tex]g(\alpha)=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{2a_{2}}+...+\frac{1}{na_{n}}\right);[/tex]

b) Докажете, че [tex]\inf_{\alpha}\ g(\alpha)=0[/tex] и [tex]\max_{\alpha}\ g(\alpha)=g(\iota),[/tex] където [tex]\iota=\left\{1,2,...,n,...\right\}.[/tex]


Задача 3. Нека [tex]f:[0,1]\rightarrow R[/tex] е непрекъсната функция, за която [tex]f(0)=f(1).[/tex]

а) Докажете, че за всяко естествено [tex]n\in N[/tex] съществува хорда нa графиката на
[tex]f,[/tex] успоредна на оста [tex]Ox,[/tex] която има дължина [tex]\frac{1}{n}.[/tex]

б) Съществува ли непрекъсната функция [tex]f:[0,1]\rightarrow R[/tex] , за която [tex]f(0)=f(1),[/tex] и всяка хорда успоредна на оста [tex]Ox[/tex] има дължина различна от [tex]\frac{2}{3}.[/tex]

в) Съществува ли непрекъсната функция [tex]f:[0,1]\rightarrow R[/tex] , за която [tex]f(0)=f(1),[/tex] и всяка хорда успоредна на оста [tex]Ox[/tex] има дължина различна от [tex]\frac{2}{5}.[/tex]

Забележка: Хорда на графиката на [tex]f[/tex] наричаме отсечка, която свързва [tex]2 [/tex] точки от нея.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pitagor
Начинаещ


Регистриран на: 28 Oct 2007
Мнения: 2

Репутация: 1.1

МнениеПуснато на: Thu Feb 21, 2008 8:37 pm    Заглавие:

Защо само задачите на група А? Ако може публикувайте и задачите на другите групи.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.