Регистрирайте сеРегистрирайте се

Санкт Петербургски Държавен Университет- 2007


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sat Dec 29, 2007 8:44 pm    Заглавие: Санкт Петербургски Държавен Университет- 2007

Това е темата:


Sanktpetersburg2007.doc
 Description:
Двата варианта от тази година

Свали
 Име на файл:  Sanktpetersburg2007.doc
 Големина на файла:  44 KB
 Свален:  880 пъти(s)

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
administrator
Site Admin


Регистриран на: 12 Oct 2005
Мнения: 284
Местожителство: София(Варна)
Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6Репутация: 45.6
гласове: 14

МнениеПуснато на: Sat Dec 29, 2007 11:31 pm    Заглавие:

На доста по-високо ниво в сравнение с нашите университети е темата.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя Yahoo Messenger
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sun Dec 30, 2007 9:00 am    Заглавие:

teacher написа:
На доста по-високо ниво в сравнение с нашите университети е темата.

Да, като изключим отделни задачи от СУ и може би някои други ВУЗ!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
b1ck0
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2006
Мнения: 301
Местожителство: Варна
Репутация: 35.6Репутация: 35.6Репутация: 35.6Репутация: 35.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Sun Dec 30, 2007 1:24 pm    Заглавие:

Според мен не са кой знае колко по-сложни от нашите теми ...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Dec 30, 2007 3:13 pm    Заглавие:

Нашите 'теми' са малоумни в сравнение с тези задачи.

1) Нека страната на търсения квадрат е 2а. Върхът на нашата парабола f(x) се достига в [tex]x=-\frac{3}{2 } [/tex]
Тогава за да имаме квадрат който да удовлетворява условието трябва:
[tex]f(-\frac{3}{ 2} + a)=2a[/tex] или [tex]f(-\frac{3}{ 2} + a)=-2a[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sun Dec 30, 2007 4:32 pm    Заглавие:

Дали нашите теми са малоумни, не знам но ето зад. от същия ВУЗ от 1991 г.
Две вершины квадрата лежат на оси абсцисс, а две другие — на
кривой y= 2x+x^2 . Вычислите площадь квадрата.

Tова, а то е от книга за подготовка на кандидатстуденти (издадена от същия ВУЗ), още в СУ не е ставало.
Или поне аз не помня.

10 зад. за 5 часа = Безумие (Кой има полза от това?)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Sat Jan 05, 2008 12:43 am    Заглавие:

r2d2 написа:

Две вершины квадрата лежат на оси абсцисс, а две другие — на
кривой y= 2x+x^2 . Вычислите площадь квадрата.


Възможни са два случая - това са квадратите ABCD и EFGH. Нека абсцисата на точка F да е х. Ако с |а| означим дължината на страната на квадрата, абсцисата на точка Е е a+x.

[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)=a\\f(x+a)=a \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}x^2+2x=a\\x^2+2ax+a^2+2x+2a=a \end{tabular} [/tex]

Решаваме системата и получаваме:

[tex]a=2 \pm 2\sqrt{2}\Rightarrow a^2=12 \pm 8\sqrt{2}[/tex].



spgu1991.GIF
 Description:
 Големина на файла:  11.12 KB
 Видяна:  2456 пъти(s)

spgu1991.GIF


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Thu Jan 10, 2008 3:56 pm    Заглавие:

Санкт-Петербургски Държавен Университет - Математико-механичен факултет

Вариант 2


Задача 1: Два от върховете на квадрат лежат на абсцисната ос в равнина с координатна система Оху, а другите два – на графиката на функцията [tex]y=x^2-3x-\frac34[/tex]. Намерете лицето на квадрата.

Решение:
Нека абсцисата на един от върховете на квадрата да е х, а на друг - х+а. Тогава дължината на страната ще бъде равна на |x-(x+a)|=|a|, а площта му - на |a|2=a2.

[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)=a\\f(x+a)=a \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}x^2-3x-\frac34=a\\(x+a)^2-3(x+a)-\frac34=a \end{tabular}[/tex]

Изваждаме първото уравнение от второто и получаваме

[tex](2x+a)a-3a=0, a\ne 0 \Rightarrow a=3-2x\\ x^2-3x-\frac34 +2x-3=0 \\ x^2-x-\frac{15}{4}=0 \Rightarrow x_1=\frac52, x_2=-\frac32 \\ a_1=-2 \Rightarrow a^2_1=4 \\ a_2=6 \Rightarrow a^2_2=36[/tex].


Задача 2: Решете уравнението [tex]x.\sqrt{\frac{x+2}{x}}=x^2+2x-2[/tex]

Решение:

x≠0
[tex]\Rightarrow \sqrt{\frac{x+2}{x}}=x+2-\frac2x[/tex]

Полагаме [tex]x+2=a, \ \frac1x=b[/tex].

[tex]\sqrt{ab}=a-2b[/tex]

Повдигаме на квадрат и получаваме биквадратно уравнение.

[tex]a^2-5ab+4b^2=0|:b^2 \\ \left( \frac ab \right )^2-5 \left( \frac ab \right )+4=0 \\ \frac ab=1 \cup \frac ab =4 \\ x+2= \frac 1x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+2= \frac 4x \\ x^2+2x-1=0 \ \ \ \ \ \ x^2+2x-4=0 \\ x_{1,2}=-1 \pm \sqrt 2 \ \ \ \ \ \ x_{3,4}=-1 \pm \sqrt 5[/tex]

За да има решение уравнението, трябва [tex]x+2-\frac 2x \geq 0 \Rightarrow x \in [-1-\sqrt 3; 0) \cup [-1+\sqrt 3;+\infty)[/tex]
От получените решения в допустимите стойности влизат само [tex]x=-1-\sqrt 2[/tex] и [tex]x=-1+\sqrt 5[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Thu Jan 10, 2008 5:02 pm    Заглавие:

Задача 5: Намерете всички естествени числа [tex]n[/tex] , за които уравнението [tex] \cos {nx} -\cos x=0[/tex] има само едно решение от интервала [tex](0,1)[/tex].

Решение:

[tex] \cos {nx} -\cos x=0 \Leftrightarrow -2\sin{\frac{(n-1)x}{2}}.\sin{\frac{(n+1)x}{2}}=0[/tex]

[tex]\sin{\frac{(n-1)x}{2}}=0 \ \ \ \cup \ \ \ \sin{\frac{(n+1)x}{2}}=0[/tex]

Да означим с [tex]X^1_k[/tex] и [tex]X^2_l[/tex] решенията на първото и второто уравнение.

Разглеждаме първото уравнение.

[tex]\sin{\frac{(n-1)x}{2}}=0 \Rightarrow \frac{(n-1)x}{2}=k\pi\Leftrightarrow X_{k}^{1}=\frac{2k\pi}{n-1}; \ k\in Z [/tex]

Трябва да определим [tex]n \in N[/tex] така, че само едно от числата [tex]X^1_k[/tex] да принадлежи на интервала (0;1).

[tex]0<X_{k}^{1}<1\Leftrightarrow 0<\frac{2k\pi}{n-1}<1\Rightarrow k\in N\Rightarrow 0<X_{1}^{1}<X_{2}^{1}<...[/tex]

Следователно трябва да е в сила [tex]X_{1}^{1}<1\le X_{2}^{1}\Leftrightarrow \frac{2\pi}{n-1}<1\le \frac{4\pi}{n-1}\Leftrightarrow \frac{n-1}{4}\le \pi<\frac{n-1}{2}.[/tex]

[tex]\frac{n-1}{4}\le \pi=\frac{22}{7}\Rightarrow n<13.57\Rightarrow n\le 13 \\ 3<\pi<\frac{n-1}{2}\Rightarrow n>7\Rightarrow n\ge 8[/tex]

Следователно при [tex]n\in \left\{8,9,10,11,12,13\right\}[/tex] условието за единствен корен в дадения интервал е изпълнено.

Сега нека да разгледаме второто уравнение.

[tex]\sin\left\(\frac{(n+1)x}{2}\right\)=0\Rightarrow \frac{(n+1)x}{2}=l\pi\Leftrightarrow X_{l}^{1}=\frac{2l\pi}{n+1}; \ l\in Z \\ 0<X_{l}^{1}<1\Leftrightarrow 0<\frac{2l\pi}{n+1}<1\Rightarrow l\in N \Rightarrow 0<X_{1}^{1}<X_{2}^{1}<... \\ X_{1}^{1}<1\le X_{2}^{1}\Leftrightarrow \frac{2\pi}{n+1}<1\le \frac{4\pi}{n+1}\Leftrightarrow \frac{n+1}{4}\le \pi<\frac{n+1}{2}[/tex]

[tex]\frac{n+1}{4}\le \pi=\frac{22}{7}\Rightarrow n\le 11 \\ 3<\pi<\frac{n+1}{2}\Rightarrow n>5\Rightarrow n\ge 6[/tex]

Следователно при [tex]n\in \left\{6,7,8,9,10,11\right\}[/tex] условието за единствен корен в дадения интервал е изпълнено.

В заключение, понеже [tex]X_{1}^{1}\ne X_{0}^{2}[/tex], решенията на първото и второто уравнение трябва да са различни. Следователно [tex]n\in \left\{6,7,12,13\right\}[/tex]. След проверка установяваме, че решения са само [tex]n\in \left\{6,7\right\}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Jan 11, 2008 2:53 pm    Заглавие:

[tex]x\sqrt{\frac{x+2}{x}}=x^2+2x-2[/tex] ДМ [tex]x \le -2 \cup x>0[/tex]

1. [tex]x\le -2 \Rightarrow x\sqrt{\frac{x+2}{x}}=-\sqrt{x^2+2x}[/tex]. Полагаме [tex]u=\sqrt{x^2+2x} \ge 0[/tex] и получаваме [tex]u^2+u-2=0 \Rightarrow u=1 \Rightarrow x=-1-sqrt{2}[/tex].

2. [tex]x>0 \Rightarrow x\sqrt{\frac{x+2}{x}}=\sqrt{x^2+2x}[/tex]. Полагаме [tex]u=\sqrt{x^2+2x} \ge 0[/tex] и получаваме [tex]u^2-u-2=0 \Rightarrow u=2 \Rightarrow x=-1+sqrt{5}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Jan 12, 2008 4:36 pm    Заглавие:

Уравнението [tex]\cos nx = cos x[/tex] има за решения (k,s - цели)
1. [tex]nx = x +2k\pi[/tex]
2. [tex]nx = -x +2s\pi[/tex]

От тези решения (n>=3) най-малкото положително е [tex]x=\frac{2\pi}{n+1}[/tex], а следващото по големина е [tex]x = \frac{2\pi}{n-1}[/tex].

Следователно трябва [tex]\frac{2\pi}{n+1}<1\le\frac{2\pi}{n-1}[/tex] или [tex]2\pi-1<n\le 2\pi+1[/tex].

И двете неравенства са изпълнени само за [tex] n=6, n=7[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sun Nov 01, 2009 9:35 am    Заглавие:

Вариант І, зад. 3. Да се реши неравенството [tex]x \log_{2}(4^{\frac{1}{x}}-\frac{3}{4})>1[/tex].

Ясно е, че [tex]x_{0}=0[/tex] не удовлетворява неравенството. Тогава ще разделим на [tex]x[/tex] и ще разгледаме два случая за знака му.

І случай. От [tex]x>0 \Rightarrow \log_{2}(4^{\frac{1}{x}}-\frac{3}{4})>\frac{1}{x} \Leftrightarrow 4^{\frac{1}{x}}-\frac{3}{4}>2^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow (2^{\frac{1}{x}})^2-\frac{3}{4}>2^{\frac{1}{x}} \, (*)[/tex].

Сега полагаме [tex]2^{\frac{1}{x}}=u[/tex]. Съобразяваме, че [tex]{\cyr D.O.} \, u^2-\frac{3}{4}>0 \Leftrightarrow u \in (\frac{\sqrt{3}}{2};+\infty)[/tex]. Неравенството [tex](*)[/tex] добива вида

[tex]u^2-u-\frac{3}{4}>0 \Leftrightarrow4u^2-4u-3>0[/tex].

Решенията са [tex]u \in (-\infty;-\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2};+\infty)[/tex]. Отчитайки [tex]{\cyr D.O.}[/tex], намираме, че [tex]u \in (\frac{3}{2};+\infty)[/tex].

І случай. [tex]\fbox{u \in (\frac{3}{2};+\infty)}[/tex].

ІІ случай. А от [tex]x<0 \Rightarrow \log_2(4^{\frac{1}{x}}-\frac{3}{4})<\frac{1}{x} \Leftrightarrow 4^{\frac{1}{x}}-\frac{3}{4}<2^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow (2^{\frac{1}{x}})^2-\frac{3}{4}<2^{\frac{1}{x}}[/tex].

Отново имаме [tex]u \in (\frac{\sqrt{3}}{2};+\infty)[/tex] и трябва да решим [tex]4u^2-4u-3<0[/tex]. Решенията са [tex]u \in (-\frac{1}{2};\frac{3}{2})[/tex], или предвид допустимите стойности − [tex]u \in (\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{3}{2})[/tex].

ІІ случай. [tex]\fbox{u \in (\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{3}{2})}[/tex].

От оградените полета се намират решенията за [tex]x[/tex], Smile .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.