Регистрирайте сеРегистрирайте се

'Равни' безкрайности...


 
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Sun Sep 03, 2006 7:37 am    Заглавие: 'Равни' безкрайности...

Дайте колокто се може по-прости и ефектни примери илюстриращи, че:

1. Две отсечки с различни дължини имат 'еднакъв брой' точки.
(т.е. нещо, което ефектно да демонстрира взаимно обратимо съответствие между точките на две отсечки с различни дължини)

2. Една отсечка и една права имат 'еднакъв брой' точки.
(т.е. нещо, което ефектно да демонстрира взаимно обратимо съответствие между точките на една отсечка и една права)

3. Една отсечка и една равнина имат 'еднакъв брой' точки.

4. Една отсечка и цялото 3-D пространство имат 'еднакъв брой' точки.

5. Една отсечка и призволно 'n'-мерно пространство имат 'еднакъв брой' точки.

:-)

Любо
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Mon Sep 04, 2006 1:54 pm    Заглавие:

Определено интересен въпрос задаваш!!!Не мога да издържа да не отговоря!!Smile
Ето решение:
За всеки един от поставените въпроси си конструираш биекциите:
1) f : (a,b)->(c,d), |b-a|<>|c-d|
2) f : (a,b)->R
3) f : (a,b)->RxR=R^2
4) f : (a,b)->R^3
5) f : (a,b)->R^n
където a,b E R а R е множеството на реалните числа.

Te ти осъществяват точно еднозначни съответствия между обектите, за които говориш.
Проблемът е решен!Smile
Само че тоя пример е доста абстрактен.

Един онагледяващ и ефектен пример за това, соред мен, може да се вземе от геометрията.

Параметризацията на уравненията на отсечки, прави, криви линии в равнината тримерното или ен мерното пространство, представлява точно установяване на взимно еднозначно съответстие (намиране на биективно изображение) между даден реален интервал (отсечка) и точките от разглеждания геометричен обект.
Като елементарен пример ще дам окръжност с радиус r.

Взимаш каноничното и уравнение x^2+y^2=r^2

Една параметризация на това уравнение е:

x(t)=rcos t
y(t)=rsin t
0<=t<=2п

Тоест на точките от интервала [0,2п] (тази отсечка), съпоставяш точките с координати:

x=rcos t
y=rsin t

от двумерното пространство (равнината на окръжността), които представляват точки от окръжността.
Знае се, че една окръжност има безройно много точки, за интервала също.
Това дори се доказва лесно.

За настоящият пример, налице е биекцията:
f:[0,2п]->(rcos t)i+(rsin t)j
(i,j - единични базисни вектори)

Ще отбележа само, че за параметризация на окръжност могат да се намерят и други биекции.

Например:

x(t)=r*(2t)/(1+t^2)
y(t)=r*(1-t^2)/(1+t^2)
t E R

е една друга параметризация, която съпоставя на реалната права, точките от окръжността с радиус r.
Разликата в параметризациите се състои в това как се описва реално геометричният обект.
Например в този пример, с параметризацията:

x(t)=rcos t
y(t)=rsin t
0<=t<=2п

въпросната окръжност се описва по следния начин:
Когато t=0, съответната точка от окръжността е точката с координати (x,y)=(r,0).
Това се установява, като стойността t=0 се замести в изразите за x(t) и y(t).
Kогато t се мени от нула до пи, се описва горният клон на окръжността (този над оста Х) от дясно наляво, а когато t се мени от пи до два пъти пи, се описва долния клон на окръжността (този под оста Х), от ляво-надясно. Наистина: при t=п, (x,y)=(-r,0),a при t=2п, (x,y)=(r,0),

С параметризацията

x(t)=r*(2t)/(1+t^2)
y(t)=r*(1-t^2)/(1+t^2)
t E R

същата окръжност се описва по следния начин:
Когато t->-inf, съответната точка от окръжността е точката с координати (x,y)=(0,-r).
Това се установява като се направи граничен преход в изразите за x(t) и y(t) при t->-infinity (-безкрайност).

Kогато t се мени от -inf до -1, се описва половината от левия клон (този от ляво на оста У и под оста Х) oтдолу-нагоре.
Действително, когато t=-1, съответната точка от окръжността е точката с координати (x,y)=(-r,0).

Kогато t се мени от -1 до 0, се описва другата половина от левия клон (този от ляво на оста У и НАД оста Х) отдолу-нагоре.
Действително, когато t=0, съответната точка от окръжността е точката с координати (x,y)=(0,r).

Така от симетрията, когато t се мени от нула до безкрайност (inf), се описва десният клон на окръжността отгоре-надолу.

Интересното е, че при първата параметризация, четвърт от интервала на изменение на параметъра, отговаря на четвърт описана окръжност, горе-долу равномерно разпределение на точките, докато при втората параметризация, на интервал с безкрайна дължина какъвто е (-inf,-1] оговаря една четвърт описана оръжност, а на интервал с дължина единица какъвто е [-1,0]-втора четвърт, т.е на интервали с различни дължини, дори безкрайни, отговарят части с еднакви дължини описана окръжност.

Могат да се въведат безбройно много параметризации само за тази окръжност и всички те ще се отличават само по характера на биекцията и начина на описване на окръжността.

Ще отбележа още, че намирането на такова съответствие между точките на отсечка и точките на някаква крива линия, например, не винаги е възможно.
Намирането на такова съответствие може да се окачестви с "изправяне" на дадената крива или казано на академичен език-ректирификация на дадената крива. Та казано с други думи, не всички криви могат да се изправят.

Същото важи и за други геометрични и математически обекти.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Sep 04, 2006 4:15 pm    Заглавие:

Здравей Infernum,

Разсъжденията и обясненията ти са много точни.

Когато си мислех да пусна тази тема, си мислех за примери със силен визуален ефект.

Според мен, за да направим математиката интересна за повече хора, тези, които вече имат знания по даден проблем би трябвало да излагат тези знания по начин достъпен за колкото се може повече хора, без да правят компромис с математическата прецизност!

Голям майстор в това отношение беше (беше, защото вече не измежду живите) американският физик и Нобелов лауреат Ричард Файнман. Неговите лекции бяха преведени и на Български пред много години.
Разбира се има много, много други като професор Файнман - отлични професионалисти и големи майстори в правенето на важни идеи в математиката и физиката 'прозрачни' и достъпни за широк кръг от хора.

Не приемай това като критика, моля те!!!

Много, много ми харесват както задачите, които предлагаш, така също и решенията ти на задачите, предложени от други колеги!

С високото ниво на познания, които за всеки е очевидно че притежаваш, ти би могъл да допринесеш МНОГО за привличане на повече истински почитатели на математиката, като използуваш тези познания и излагаш идеите си на по-прост, но същевременно точен математически език.

---------

Сега малко дискуссия по предлаганите решения.

---------

Не съм използувал досега 'qoutes' в този форум и не знам какво точно ще излезе, но нека да опитам.

Infernum написа:

...
Един онагледяващ и ефектен пример за това, соред мен, може да се вземе от геометрията.
...
Като елементарен пример ще дам окръжност с радиус r.

Взимаш каноничното и уравнение x^2+y^2=r^2

Една параметризация на това уравнение е:

x(t)=rcos t
y(t)=rsin t
0<=t<=2п

Тоест на точките от интервала [0,2п] (тази отсечка), съпоставяш точките с координати:

x=rcos t
y=rsin t

от двумерното пространство (равнината на окръжността), които представляват точки от окръжността.
...

С параметризацията

x(t)=r*(2t)/(1+t^2)
y(t)=r*(1-t^2)/(1+t^2)
t E R

същата окръжност се описва по следния начин:
Когато t->-inf, съответната точка от окръжността е точката с координати (x,y)=(0,-r).



Това са два много добри примера, които дават взаимнообратимо съответствие между:

1. Точките на интервала [0, 2п] и точките от една окръжност с радиус 'r', т.е. между точките на отсечка и крива (окръжността)!
Това все още не дава 1:1 съответствие между точките на отсечка и цялата равнина (има един допълнителен параметър - радиусът 'r').

2. Точките на 'реалната ос' и точките на окръжността са в съответствие 1:1 (т.е. един 'безкарайно дълъг' обект - правата линия и един обект с крайна дължина - обиколката на окръжността имат еднакъв брой точки!

Много ми харесаха примерите ти!

На 'link'-a по-долу, искам да предложа два други примера, илюстриращи:

а) 1:1 съответствие между точките на отсечки с различни дължини

На всяка точка 'X' на страната АВ на триъгълника АВС, съответствува точно една точка 'Y' от отсечката MN и обратно (вижте чертежа).

б) 1:1 съответствие между точките на отсечка (-п/2, п/2) и права (оста 'y'), чрез функцията 'tg(x)'

На всяка точка от интервала (-п/2, п/2), който е отсечка, съответствува точно една точка 'tg(x)' на оста 'y', която е права линия.

А сега обещаният 'link':

http://math123.net/bg/one-one.jpg

Разбира се това в никакъв случай не са нито единствените, нито най-ефектните примери за такива съответствия. С тях само се опитвам да доизясня моите първоначални намерения, когато реших да пусна тази тема.

Поздрав
Любо
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
MuTaKa
Редовен


Регистриран на: 18 Oct 2005
Мнения: 147

Репутация: 32.5Репутация: 32.5Репутация: 32.5
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Sep 04, 2006 4:58 pm    Заглавие:

w0w... Сега вече заприлича на форум за математика Smile
Любо, тъй като си физик и искаш да направиш достъпна математиката до повече хора, а аз понеже съм провокатор и ми е изключително интересна абстрактната част на точните науки искам да те помоля ти да обясниш твърденията, които си написал от гледна точка на квантовата физика! Rolling Eyes Very Happy
И ако може още едно нещо - мястото на човека като въглеродна във Вселената като въглеродни единици Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Sep 04, 2006 7:45 pm    Заглавие:

Здаравей и на теб, MuTaKa

Отговорите на твоите въпроси, може би :-), се 'крият' в две 'красиви' производни:

1. (пr^2)' = 2пr

т.е. производната на лицето на кръг по радиуса е точно равна на обиколката на окръжността!

2. [(4/3)пr^3]' = 4пr^2

или производната на обема на сфера по радиуса е точно равна на повърхността на сферата!

Случайно ли е това, или древните Гърци са били прави като са смятали кръговете и сферите, заради уникалната им симетричност, за форми/фигури предпочитани от Боговете?

Любо
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Fri Sep 08, 2006 9:30 pm    Заглавие:

Хора, вие сте някакви нечовеци! Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.