да се намерят локални екстремуми

[milamila]

Да се намерят локалните екстремуми на функцията:

[tex]f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-6y[/tex]

[Реклама]

[Infernum]

Peшeниe.
1. Hамираш частните производни от първи ред на дадената функция и ги анулираш. Получаваш ситема от уравнения. Така намираш точките, в които функцията може да има екстремум.

[tex]f_x=2x+y-3=0[/tex]
[tex]f_y=2y+x-6=0[/tex]

Решението на тази система е:

[tex] x=0[/tex]
[tex] y=3[/tex]

Единствената стационарна точка, ти е точката с координати (0,3)

2. Намираш частните производни от втори ред на дадената функция:

[tex]f_{xx}=2[/tex]
[tex]f_{xy}=f_{yx}=1[/tex]
[tex]f_{yy}=2[/tex]

те са постоянни за всяка точка, значи и за намерената стационарна.

3. Изследваш знака на израза:

[tex]f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=2^2-1>0[/tex]

Значи функцията има локален минимум в намерената стационарна точка, тъй като [tex]f_{xx}>0[/tex].
стойността му е:

[tex]f_{min}=0^2+0.3+3^2-3.0-6.3=-9[/tex]