Намиране на граница по редовете на Маклорен

[Dubcnn]

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^\alpha +(1-x)^\alpha -2}{x^2}[/tex]

[tex]\alpha > 0[/tex]

[Реклама]

[r2d2]

Eто решение, още не съм се събудил и не ми се обяснява подробно.

[Dubcnn]

Благодаря, ти за задачата! Само да попитам това означение на снимката какво означава:

[Infernum]

[tex]f(x)=o(g(x))[/tex] е същото като [tex]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0.[/tex]

Това на практика означава, че функцията f(x) клони многo по-бързо към нула, от колкото g(x), при x клонящо към x₀, или че функцията f(x) е пренебрежимо малка в сравнение с функцията g(x), при x клонящо към x₀.

Например, ако се използва развитието на функцията [tex](1+x)^\alpha [/tex] в ред на Маклорен имаш

[tex](1+x)^\alpha =1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}x^k=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}x^k+\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}x^k=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}x^k+o(x^n)[/tex], тъй като

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}x^k}{x^n}=\lim_{x \to 0}\frac{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n-k+1)}{(n+k)!}x^{n+k}}{x^{n}}=\lim_{x \to 0}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n-k+1)}{(n+k)!}x^{k}=0[/tex]