interesna zad.

[lucas]

Много я мъдрих и я решавах ама сметките ми се провалят. Много ще съм ви благодарен ако ми кажете решението:
Две тела се намирали на 153 m едно от друго. Едновременно започнали да се движат едно срещу друго.Първото всяка секунда изминавало по 10 m, а второто първата секунда изминавало 3 m,но после всяка следваща секунда изминавало по 5 m повече,отколкото в предходната.След колко секунди телата се срещнали? Отг.: След 6 s.

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Да означим разстоянието между телата в началния момент с L. Пускаме часовника и двете тела започват да се движат. Точно, когато се срещнат спираме часовника. Двете тела са изминали разстоянието за едно и също време. Може да изглежда просто, но го казвам, защото е основен факт при решаване на подобни задачи.

Означаваме времето до срещата (което, съгласно горната забележка е едно и също за двете тела) с t. Тогава първото тяло, което изминава за всяка секунда по 10 m, за t секунди ще измине 10t метра, т.е. това е пътят, който то ще измине до срещата.

Да разгледаме второто тяло. За всяка секунда от движението му имаме следната редица:

3, 8, 13, 18,...,5t-2,
която е аритметична прогресия с d = 5, a₁ = 3 и n≡t (тук t ни е брояча на всеки член). Тогава от формулата за сума на аритметична прогресия получаваме:

[tex]S_t = \frac{2.3 +(t-1)5}{2}t = \frac{5t+1}{2}t[/tex]

Забележка: За да не възникне недоразумение, тук сумираме не времена, а пътища, т.е. времето в интервал 1 секунда е всъщност номера (брояча) на членовете на прогресията, които са пътища: т.е. за всяка следваща секунда се изминават съответно 3 метра, 8 метра, 13 метра, ... и т.н. И вече като сумираме всички тези отделни отрязъци от пътя, ще получим пълния път, който тялото изминава до спирането на часовника.

Сега събираме така намерените два пътя, които ни дават всъщност целия път L:

[tex]10t + \frac{5t+1}{2}t = 153[/tex]

[tex]5t^2 + 21t - 306 = 0[/tex]
[tex]t_1 = 6[/tex]
[tex]t_2 = -10,2\notin \mathbb R^+[/tex]

Следователно отговорът е 6.