X-та степен

[Synaptic]

3^x + 4^x = 5^x
Знам, че x е 2, очевидно е, но как да го докажа?!

[Реклама]

[Relinquishmentor]

[tex]3^x + 4^x = 5^x[/tex]

[tex]\frac{3^x}{5^x} + \frac{4^x}{5^x} = 1[/tex]

[tex](\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1 [/tex]

Пол. [tex]\frac{3}{5} = sin \alpha [/tex]

Тогава [tex]cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5} [/tex]

И получаваме:

[tex]sin^x\alpha + cos^x \alpha = 1[/tex]

От друга страна знаем, че [tex]sin^2\alpha + cos^2 \alpha= 1[/tex] за всяко[tex] \alpha [/tex], включително и ако[tex] \alpha = arcsin\frac{3}{5}.[/tex]

Тогава [tex](sin arcsin\frac{3}{5})^2 + (cos arcsin \frac{3}{5})^2 = 1[/tex]

или

[tex](\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = 1[/tex]

което е същото като:

[tex] 3^2 + 4^2 = 5^2[/tex]

Следователно намерихме едно възможно решение на уравнението.

[Synaptic]

Мерси, ама не може да се ползват тези arc синус и косинус, защото не сме ги учили. Единственото което може е логаритъм.

[r2d2]

Доказва се така:
x=2 е решение,
ако
x<2 [tex]\left (\frac{3}{5}\right) ^x>\left (\frac{3}{5}\right) ^2[/tex] и [tex]\left (\frac{4}{5}\right) ^x>\left (\frac{4}{5}\right) ^2[/tex], т.е. лявата страна е повече от 1.
Аналогично при x>2 лявата страна е по-малка от 1. Следователно х=2 е единствено решение.

[Synaptic]

[soldier_vl]

r2d2 то това е универсален метод ма да попитам нали по тази начин се доказваха и уравнения от вида лява страна разтяща функция, дясна страна намаляваща???

[Synaptic]

Да по този начин се докават и те.