Да се докаже еквивалентност на дефиниции

[Des7]

Здравейте! Ще се радвам, ако някой може да ми помогне. Имам следният въпрос, който трябва да развия:

Да се докаже еквивалентността на дефинициите на Хайне и Коши за граница на функция.

Благодаря предварително.

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Ето едно малко измислено доказателство. По-късно ще напиша и обратната стрелка.

Коши [tex]\Rightarrow[/tex] Хайне

Теорема: [tex]f(x) : D \rightarrow \mathfrak{R}\, , \xi -[/tex] точка на сгъстяване и [tex]\lim_{x\! \to\xi}\,f(x) = l[/tex] . Ако редицата [tex]x_1, x_2,...,x_n[/tex] e съставена от числа, принадлежащи на [tex]D[/tex] и ако [tex]x_n \rightarrow \xi [/tex],то редицата от съответните им функционални стойности е сходяща и клони към [tex]l[/tex].

Д о к а з а т е л с т в о. Разглеждаме функцията [tex]f(x)[/tex], дефинирана в интервал [tex]D[/tex], за който [tex]\xi[/tex] e точка на сгъстяване на дефиниционното й множество. Освен това функцията има граница при [tex]x \rightarrow \xi[/tex], която ще означим с [tex]l[/tex]. Това означава, съгласно дефиницията на Коши за граница на функция, че [tex]\forall \epsilon \>0 \, \exists \delta >0 \ ; x\in D,\, x\ne \xi,\, |x-\xi|<\delta \Rightarrow |f(x) - l|< \epsilon [/tex]. Това пък че редицата [tex]x_n[/tex] e сходяща с граница [tex]\xi[/tex] , означава, че при [tex] \delta \>0 \, \exists \nu ; \, n>\nu \Rightarrow |x_n - \xi|< \delta .[/tex] И така, при [tex]n>\nu[/tex] е изпълнено [tex]|x_n - \xi|< \delta[/tex] , което пък означава, че е изпълнено и [tex]|f(x_n) - l|< \epsilon[/tex] ,тъй като [tex]l[/tex] беше граница на [tex]f(x)[/tex] за всички стойности на x от дефиниционното множество, където те клонят към точката на сгъстяване [tex]\xi[/tex]. Това именно означава по Коши, че редицата [tex]f(x_n)[/tex] е сходяща и клони към [tex]l.[/tex].

[Relinquishmentor]

Хайне [tex]\Rightarrow[/tex] Коши

Лема: Множеството на реалните числа е неизброимо.

Д о к а з а т е л с т в о : Да допуснем противното, т.е., да допуснем, че реалните числа могат да бъдат съпоставени по някакво правило на естествените числа или иначе казано - можем да ги наредим в редица [tex]x_1, x_2,...,x_n[/tex]. Да вземем един интервал от реалната права [tex][a_1;b_1][/tex] със свойството да не съдържа първия елемент [tex]x_1[/tex] на предполагаемата редица (ясно е, че ще има такъв интервал). Да го разделим сега на два подинтервала така, че поне единият да не съдържа втория елемент [tex]x_2[/tex]. Ще означим интервала с това свойство с [tex][a_2;b_2][/tex] . Продължаваме делението до подинтервала [tex][a_n;b_n][/tex] , който не съдържа елемента [tex]x_n[/tex]. Ако продължаваме така до безкрайност, ще получим една система от вложени интервали, дължината на които клони към нула и които ще удовлетворяват условията на теоремата на Кантор. Ще съществува тогава точка [tex]\xi[/tex] , която се съдържа във всички интервали. Но за всички интервали ние поискахме да не съдържат определени членове на редицата [tex]x_1, x_2,...,x_n,...,[/tex]а по допускане точката [tex]\xi[/tex] също е някакъв член на тази редица с фиксиран номер [tex]m[/tex] и би трябвало да съществува подинтервал [tex][a_m;b_m][/tex] , който да не я съдържа, което противоречи на теоремата на Кантор, т.е., това, че [tex]\xi[/tex] се съдържа във всички интервали означава по допускане, че [tex]\xi \ne x_n \forall n[/tex]. Следователно допускането е погрешно и множеството на реалните числа е неизброимо.

Теорема: Дадена е функция [tex]f : D \rightarrow \mathbb {R}\ [/tex]. Ако за всяка редица от стойности на [tex]D x_1, x_2,...,x_n[/tex], която клони към [tex]\xi[/tex] следва, че редицата на съответните функционални стойности [tex]f(x_1), f(x_2),...,f(x_n)[/tex] клони към [tex]l[/tex], то е изпълнено[tex] \lim_{x\to\xi}f(x) = l[/tex].

Д о к а з а т е л с т в о. От доказаната лема е ясно, че тук пряко доказателство не можем да извършим, тъй като не можем да намерим такава редица, че нейните членове да са всички реални числа. А за функциите знаем, че те съпоставят на всяко реално число от даден интервал, друго такова. Следователно каквито и твърдения да установим за произволна редица от тези числа, то не можем да докажем директно, че те са в сила и за другите (в предишната теорема такова доказателство беше възможно, тъй като ние имахме някакво твърдение за една функция и следователно можахме да установим, че поради туй, че то е изпълнено за произволни реални числа, ще бъде в сила и за числа, които сме подредили по някакъв начин.). За да докажем, че [tex]\lim_{x\to\xi} f(x) = l[/tex], трябва да покажем, че [tex]\forall\ \epsilon>0 \exists \delta \ ; x\in D, x\ne \xi, |x-\xi|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon[/tex]. Да допуснем, че каквото и [tex]\epsilon[/tex] да вземем, такова [tex]\delta [/tex] няма да съществува, т.е., че ще имаме [tex]|f(x)-l|\ge \epsilon[/tex]. Ако започнем да даваме на [tex]\delta[/tex] стойностите [tex]1,\frac{1}{2},..., \frac{1}{n},[/tex] то ще следва, че ще има такива числа [tex]x_1, x_2,...,x_n [/tex]от [tex]D[/tex], че от неравенствата [tex]|x_1-\xi|< 1, |x_2-\xi|< \frac{1}{2} ,...,|x_n-\xi|< \frac{1}{n} [/tex] да следват неравествата [tex]|f(x_1)-l|\ge \epsilon, |f(x_2)-l|\ge \epsilon,..., |f(x_n)-l|\ge \epsilon[/tex]. Редицата [tex]x_1, x_2,...,x_n[/tex] e сходяща, тъй като за всеки неин член и в сила неравенството [tex]|x_n-\xi|< \frac{1}{n}=\delta [/tex] и при това тя се състои от числа, принадлежащи на дефиниционната област на функцията [tex]f[/tex]. Тогава, от условието на теоремата и редицата[tex] f(x_n) [/tex] трябва да е сходяща, т.е., за достатъчно големи n да е изпълнено [tex]|f(x_n)-l|< \epsilon[/tex], което, според допускането не е вярно за никое n. Поради противоречието се оказа, че допускането е погрешно и следователно [tex] \lim_{x\to\xi}f(x) = l[/tex].