Екстремална задача

[t.olev]

От всички кутии с форма на правоъгълен паралелепипед без капак с дадена повърхнина да се намери тази, която има най-голям обем.

[Реклама]

[Nona]

Да означим лицето на повърхнината с S. Тогава [tex]S=ab+2ac+2bc\ge3\sqrt[3]{4a^2b^2c^2}[/tex] (от неравенството между средно аритметично и средно геометрично).
[tex]\Rightarrow V\leq \frac{1}{2}.\left(\frac{S}{3}\right) ^{\frac{3}{2}}.[/tex]
Равенство се достига, когато ab=2ac=2bc, т.е. при [tex]a=b=\sqrt{\frac{S}{3}}, \ \ c=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{3}}.[/tex]

[r2d2]

Nona използва неравнството м/у средно аритметично и средно геометрично, което кой знае защо някои наричат неравенство на Коши.

Коши, вярно го е доказал, но съм сигурен, че няма да има претенции, че неравенството е негово.
Самото неравeнство: ако [tex]x_1,x_2,...x_n \ge 0 \Rightarrow \frac {x_1+...+x_n}{n} \ge \sqrt[n] {x_1\cdot \cdot \cdot x_n}[/tex].