Уравнение в естествени числа от 3-та степен

[Titu_Andrescu]

Да се реши в естествени числа уравнението [tex]x^3-y^3=xy+61[/tex].

(Пробвайте! Аз лично бях много доволен след като я реших!)

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Р-е:Понеже [tex]x,y\in N[/tex] и [tex]x^{3}-y^{3}=xy+61>0\Rightarrow[/tex]
[tex]x^{3}-y^{3}>0\Rightarrow y\le x-1\Rightarrow 61= x^{3}-y^{3}-xy\ge x^{3}-(x-1)^{3}-x(x-1)=2x^{2}-2x+1\Leftrightarrow (x-6)(x+5)\le 0\Rightarrow x\le 6.[/tex]
Остават възможностите [tex]x=1,...,6 \Rightarrow (x,y)=(6,5)[/tex] е единствено решение.