Граници на функции и един теоретичен въпрос

[Bully]

lim_x->3(x²-5x+6)/(x-3)

Значи първо проверявам дали знаменателя е различен от 0. И примерно намирам, че е равен на 0, как най-правилно да изпиша, че трябва да започна да разлагам, а нямам право да преминавам в граница. И вече като е различен знаменателя от 0, мога да премина във граница.

Във всеки учебник го пише различно:
1)Не можем да преминем в граница
2)Не можем да пресметнем границата
3)Границата е неопределена и т.н.

Затова се обръщам към Вас защото винаги сте ми помагали. Как най-правилно да го изписвам.

И едни задачи, които ми създават трудности:

lim_{n->безкр.}(1+4+7+...+3n-2)/(n²-n+2)

lim_{n->безкр}(1+7+7²+...+7^n-1)/(1-49ⁿ)

Тези точки... все се бъркам като ги има

Благодаря предварително

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Имаш неопределеност от вида 0/0, от която можеш да се освободиш или чрез алгебрични преобразувания или по теоремата на Бернули - Лопитал.

За другите задачи - използвай формулите за сума на аритметична и геометрична прогресия.

[Bully]

[g_kulekov]

За първата задача
Принципно разсъждаваш погрешно. Не проверяваш дали знаменателят е нула! То и няма как "да го провериш".
Рабтотата е следната. Най-напред проверяваш можеш ли да заместиш х с граничната стойност. Ако може, чудесно - заместваш х с тази гранична стойност. В случая не може, защото знаменателят се нулира. Тогава вземаш предвид, че х клони към тази граница чрез стойности, различни от нея. Това означава, че за всяко такова х (което клони към границата, в случая 3, но е различно от нея) изразът е коректен. Опитваш да разложиш числителя на множители по такъв начин, че да съкратиш този множител от знаменателя, който "ти играе магария" в граничната стойност. В случая - разлагаш числителя на (x-3).(x-2). Обърни внимание - x клони към 3, но е различно от 3, т.е. x-3≠0=. Това ти дава право да съкратиш множителя (x-3) в числителя и знаменателя. Полученият израз е еквивалентен на първоначалния за всякакви х≠3. Ето сега вече "пускаш" х да клони към границата, т.е. вече можеш да заместиш x с граничната стойност.

[Bully]

Мерси.

А ще може ли насоки към задачите, които съм дал по-долу, както и към тази:

lim_x->0(sin²x)/(1-cosx)

ПС: Ако може по-подробно

[Relinquishmentor]

[tex]\lim_{x \to \0} \frac{sin^2x}{1-cosx} = \lim_{x \to \0} \frac{1-cos^2x}{1-cosx} = \lim_{x \to \0} \frac{(1-cosx)(1+cosx)}{1-cosx} = \lim_{x \to \0}(1+cosx) = \lim_{x \to \0}1 + \lim_{x \to \0}cosx = 1 + 1 = 2[/tex],
т.к. cos е непрекъсната функция.

[Infernum]