Олимпиада през 2006 г.

[Spider Iovkov]

Ето и задачите от общинския кръг на олимпиадата. Темата е за 12 клас.

Зад. 1. Дадена е функцията

[tex]f(x)=\frac{x^4+6x^3+11x^2+6x+1}{x(x+1)}[/tex].

а) да се реши неравенството: [tex]f(x)\ge\frac{1}{x(x+1)}[/tex];
б) да се определят пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси Ox и Oy;
в) да се изчисли сумата: [tex]S_{n}=f(1)+f(2)+...+f(n)[/tex].

Зад. 2. От множеството на правоъгълните паралелепипеди, основните ръбове ва които се отнасят както 2:3, а периметърът на по-голямата околна стена е 24 см., да се намери обемът на онзи паралелепипед, който има най-голямо лице на повърхнината.

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

1. [tex]DM: x\neq 0,-1[/tex].

a) [tex]f(x)\ge \frac{1}{x(x+1)}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{x(x+1)}\ge 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2(x+1)^2(x+2)(x+3)\ge 0 [/tex]

[tex]\Rightarrow x\in (-\infty, -3] \cup [-2,-1)\cup (-1,0)\cup (0,+\infty)[/tex];

б) [tex]f(x)=0\Leftrightarrow x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+3x+1)^2=0\Leftrightarrow x^2+3x+1=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\pm \frac{-3+\sqrt{5}}{2}[/tex] - с [tex]O\vec{x} [/tex],
a с [tex]O\vec{y}[/tex] няма, тъй като [tex]x\neq 0[/tex] ;

в) [tex]\sum_{i=1}^{n}f(i)=\sum_{i=1}^{n }\left[(i+2)(i+3)+\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right]=\sum_{i=1}^{ n}\left[i^2+5i+6+\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right]= [/tex]

[tex]=\frac{1}{3}n(n+1)(n+8 )+6n+1-\frac{1}{n+1}[/tex].

[zhivo_zad]

Може ли да ми обясниш как става в.) с тая сума.Че твоето решение е много кратко и вярно,пък аз виж как го решавам.То всъщност има ли някакъв по лесен начин за смятане на суматати,или пък си го смяташ с прогресии и сбор от квадрати(Просто записа е различен)???