Да се докаже, че редицата е сходяща

[complex]

Тези доказателства не ги разбрам много добре . Бихте ли ми показали как се решава някоя задача, а аз след това ще се опитам да реша другите в сборника ми. Ето задачата: Да се докаже, че редицата с общ член аn е сходящя и да се намери редицата и: [tex]a[/tex] _n [tex]=\frac{n+5}{n+4} [/tex]

[Реклама]

[soldier_vl]

[tex]a_{n}>1[/tex] за всяко н. (1)
[tex]a_{n}-a_{n+1}<0[/tex] за всяко н. (2)
От (1) => радицата е ограничена от долу (3)
От (2)=> редицата е намаляваща (4)
От (3) и (4) => редицата е сходяща
Да намерим нейната граница:
[tex]lim_{n->\infty}\frac{n+5}{n+4 }=lim_{n->\infty}\frac{n}{n}\frac{1+\frac{5}{n } }{1+\frac{4}{n } } =1[/tex]

[Relinquishmentor]

Няма нужда да пишем лимеси и да правим преобразувания. Ясно е, че редицата е монотонно намаляваща и се вижда, че inf{a_n} = 1. Това е достатъчно, за да твърдим, че границата й е 1.

[soldier_vl]

[Infernum]

Още един възможен начин.

Очевидно

[tex]a_n=\frac{n+5}{n+4}=1+\frac{1}{n+4}=b_n+c_n,[/tex]

където

[tex]b_n=1[/tex]
[tex]c_n=\frac{1}{n+4}.[/tex]

Редицата b_n очевидно е сходяща.
Ако за всяко [tex]\epsilon >0[/tex] може да се намери число N, такова че за всички членове на редицата c_n с номера по големи от N е изпълнено

[tex]|c_n|<\epsilon,[/tex]

то редицата c_n ще бъде сходяща.

Наистина, като потърсиш число N, за което при n>N да имаш

[tex]|\frac{1}{n+4}|<\epsilon[/tex]

получаваш

[tex]N=\frac{1}{\epsilon}-4<n.[/tex]

Следователно редицата c_n е сходяща.
Оттук следва веднага, че редицата a_n е сходяща, като сума на две сходящи редици.

[complex]

Извинявам се за невежеството си, но soldier_vl (1) и (2) как ги установихме или трябва да ги решим? Би ли решил задачата по-подробно?

[soldier_vl]

За (1) използваш очевидното твърдение на Infernum, а за (2) като заместиш [tex]a_{n}[/tex] и [tex]a_{n+1}[/tex] получаваш нещо, което е по голямо от 0 за всяко н

[smirnov]

добре бе, 1 вото условие го разбирах An>1 защото числителя е по - голям от знаменателя . Ама във 2 рото условие не мога да разбера как става пресмятането Ан - Ан+1< 0 ?????????[/tex]