Прилича на прогресия, но не е

[Giantt]

На всяко число от редицата 1, 3, 6, 10, … са съпоставени точки, както е показано на фигурата. Намерете 35-ото число в редицата.
•
• • •
• • • • • •
• • • • • • • • • •
1 3 6 10


Точките не ги подрежда в оригиналния вид затова ги нарисувах в paint
линк
http://giantt.hit.bg/zada4a20.bmp
това е задача от тест-а за техническия в габрово за 2004г.

ето какво измислих аз:
използвам означенията за алг. прогресия
а1-първи член
аn-общ член

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+3
a4=a3+4
....
a35=a34+35

универсална формула
an=a(n-1) + n

и до тук.

[Реклама]

[Fed]

Да намерим кое е 35-тото число.
Има поне 2 начина. Единия предполагам че няма да е позволен на кандидат студентски изпит, затова ще използвам другия. И той е малко съобразяване:
при n=1 имаме 1 точка
при n=2 имаме 3 точки, което е случая при n=1 + един ред от n(2) точки
при n=3 имаме 6 точки, което е ситуацията при n=2 + един ред от n(3) точки
...
при n ще имаме ситуацията при n-1 + n точки

т.е. при n имаме толкова точки колкото е сбора на числата от 1 до n или n(n+1)/2

или а_n=n(n+1)/2

а₃₅ = 35.36/2 = 630

Ще имаме равностранен триъгълник със страна от 35 точки и общо 630 точки.

[Giantt]

eйй.. не се сетих да си го представя геометрично - равностранен триъгълник... беше около прогресиите задачата и аз на автопилот
мерси много за отговора

[Infernum]

Разглеждаш уравнението

[tex]a_n-a_{n-1}=n,[/tex]

за n=1, 2, 3, 4,...

Полагаш a₀=0.

Тъй като дясната страна на това нехомогенно рекурентно уравнение от първи ред е полином от първа степен, а от ляво имаш крайна разлика от първи ред, то решението можеш да намериш във вид а полином от втора степен, тък като крайната разлика от първи ред понижава степента на всеки полином с единица.
И така, общия член на редицата a_n търсиш във вида

[tex]a_n=an^2+bn+c,[/tex]

където a, b, c са произволни константи, които лесно се определят, като се замести това решение в изходното уравнение:

[tex]an^2+bn+c-a(n-1)^2-b(n-1)-c=n[/tex]

Оттук получаваш системата (след приравняване на коефициентите пред степените на n)

2а=1
a=b

От a₀ = a0² + b0 + c = 0, намираш c = 0.

И така, общия член на редицата е

[tex]a_n=\frac{n(n+1)}{2}.[/tex]

Между другото, може да се забележи (може би такъв е и замисъла на задачката), че броят на точките от картинката във всеки отделен триъгълник е равен на сумата на естествените числа от едно до стойността на поредния номер на триъгълника в редицата. Тогава директно се вижда, че [tex]a_{35}=\frac{35.36}{2}=630.[/tex]