Вярно ли е, че...? (7-9 клас, ТнГ, Ет 07-08)

[Pinetop Smith]

Даден е триъгълник АВС, М е среда на АВ, а АТ и ВК са височини. Триъгълникът МТК е равностранен.

а) Вярно ли е, че АВС е равностранен?
б) При отрицателен отговор на а), вярно ли е, че АВС е равнобедрен?

Всъщност задачата там е а), а б) е добавена от мен. Мисля, че е по-интересно да се отговори на този въпрос...

[Реклама]

[Usmivka]

tova e treta zada4a nali? az polu4ih e ravnostranen nz za teb

[Pinetop Smith]

Да, за нея е, дай да видим решението ти.

[r2d2]

▲MTK e равностранен винаги когато[tex] \angle ACB =60^\circ[/tex]

[Pinetop Smith]

Добро решение, на един ред двете подточки

Иначе аз намерих, че ако <С = 120 и АС = ВС, пак е равностранен.

[Usmivka]

Moje6 li da dade6 re6enieto niki ? Kak si polu4il 4e <С = 120 и АС = ВС, ili si go dopusnal??

[Pinetop Smith]

Видя ми се много удобно да е равностранен при тия условия и той взе, че наистина излезе такъв

Да, допускам го и след това доказвам, откъдето следва отговорът на въпроса.

[Pinetop Smith]

Ето и геометричната задача от основния вариант:

На страната CD на ромба АВCD е взета точка К така, че AD = BK. Нека F е пресечната точка на диагоналата BD и симетралата на страната на ВС. Докажете, че точките А, F и К лежат на една права.

Едно мое много грозно решение:

Нека S и Т е пресечната точка на диагоналите съответно на ABKD и BSKC, а Р е средата на ВС.

Ако [tex]\angle DAK = \alpha , \angle BAK = \beta[/tex], то е очевидно, че АBKD е равнобедрен трапец, значи [tex]\angle BAK = \angle ADB = \angle BDK = \angle AKB = \beta[/tex]. Оттук лесно следа, че ADS и DSC са еднакви, откъдето [tex]\angle DAK = \angle DBK = \angle SCD = \alpha[/tex]. Оттук идва, че SBCK е вписан, следователно [tex]\angle SCB = \beta[/tex]. Накрая, от последното и от доказаната еднаквост,[tex] AS = SB = SC[/tex], което влече, че S съвпада с F.

ПП: Сега видях, че от доказана еднаквост и[tex] \angle BAD = \angle BCD [/tex]идва, че [tex]\angle BAS = \angle BCS[/tex]. Карай. Колкото по-сложно, толкова по-впечатляващо