Интересен въпрос

[Tony_89]

Как може да се реши тази задача без просто да се налучква?

2^x=3-x

[Реклама]

[MuTaKa]

Може с логаритмуване, а може и без логаритмуване. Аз лично бих го решил графично - означаваме две функции y=2^x и g=3-x. Даваме стойности на x за първата ф-я:
При x=0->y=1; x=1->y=2; x=2->y=4 (дефинирали сме че ф-ята е положителна). Начертаваме графиката на тази показателна функция, след това правиме същото и за линейната - x=0->y=3; x=1->y=2; x=2->y=1. На същата координатна система чертаеме и правата на линейната функция и виждаме че се пресичат в точка с координати (1;2). Следователно корена на уравнението е x=1.

[Infernum]

Тоя графичен метод върви само когато могат да се изчертаят графиките на функциите лесно.
Веднага се подкрепям с пример:
Да се реши уравнението:
2*(cos((x^2+x)/6))^2=2^x+2^(-x).

Иначе с логаритмуване, уравнението 2^x=3-x, не виждам как ще го решиш.
По принцип налучкването не е лоша работа. Тя обаче трябва да бъде обоснована. Ако подозираш, например, че някое число е корен на дадено уравнение и в крайна сметка уравнението не може да бъде решено с елементарни средства, се пристъпва към различни аналитични методи, с които може да се установи отсъствието или наличието на други корени на даденото уравнение, които не са толкова очевидни. След като се направи оценка на подходящо избрани функции участващи в уравнението, в случай, че то не притежава други решения освен налучканото - ок, задачата е решена. В случай, че то има и други корени, се прибягва до използването на числени методи. Удобно в тази част е използването на математически софтуер.

Едно аналитично решение на тази задача е следното:

Образуваш си функциите f(x)=2^x и g(x)=3-x
Вижда се, че:
f(x) е растяща за всяко х,
g(x) е намаляваща за всяко х.
Нека х0 Е R, е такава точка, за която е изпълнено:
f(x0) - g(x0) = 0
Тогава:

За x>=x0 => f(x)>=f(x0), g(x)<=g(x0)
=> f(x) - g(x) >= 0

За x<=x0 => f(x)<=f(x0), g(x)>=g(x0)
=> f(x) - g(x) <= 0

Всичко това означава, че равенството f(x) - g(x) = 0,
се достига само и единствено за х=х0.
Като положиш х0=1, задачата е решена.

[MuTaKa]

inf., чувал ли си за метода на оценките на "вътрешна и външна" функция? В смисъл... мога да начертая графиката на абсолютно всяка една функция, като използвам екстремумите им. Сега ще обясня като разгледам твойто уравнение (същото важи и за неравенство):
2*(cos(x^2+x)/6)^2=f
2^x+2^(-x)=g
и сега:
(x^2+x)/6=U
(cosU)^2=V
2*V=K
за "g" предполагам че няма да имаме проблем

Наблюдаваме поведението на функциите последователно, започвайки от U. Търсим екстремум. След това гледаме V. Ако е растяща, то тя повтаря поведението на U. В смисъл ако U има min, то и V има min. Ако има max, то и V има max. Ако е намаляваща - съответно има обратното поведение - min->max; max->min. И V-extr. има при U-extr.

Ако има нещо неясно - ще уточнявам

[Infernum]

Искам да ми напишеш решението на задачата по твоя метод, за който разказваш, ако не е проблем, разбира се. После аз ще напиша моето, става ли?

[Infernum]