Граница на сума

[Relinquishmentor]

[tex]\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{(i+\frac{1}{2})^2 + 1}^3 } [/tex]

Идеи ?

[Реклама]

[Infernum]

Първо докажи, че съществува, пък после ще го мислим

[Relinquishmentor]

Изкарах го сходящ по критерия на Раабе-Дюамел, ама това малко ми помага

[Infernum]

Тегаво ще да е било с Раабе.

[tex]\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\left(i+\frac{1}{2} \right)^2 +1}^3} \le \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\left(i+\frac{1}{2}\right)^2}^3} \le \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^3}[/tex]

[Infernum]

Сумата на дадения ред може да бъде намерена чрез мощните средства на комплексния анализ. Тази задача, макар и елементарна, е показателна за неговата красота
Вероятно може да се намери решение и с по-елементарни средства, но на мен, честно казано, не ми идва нищо друго на ум, а пък и това решение страшно много ми допада.

И така. Извършват се следните преобразувания:

[tex]\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{(n+\frac{1}{2})^2 + 1}^3 }=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+n+\frac{5}{4}}^3}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{4n^2+4n+5}^3}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{(2n+1)^2+4}^3}[/tex]

Лесно се установява, че редът [tex]\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{(2n)^2+4}^3}[/tex] е сходящ. Докажете!

Тогава за получения след преобразуването на изходния ред, може да се запише

[tex]\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{(2n+1)^2+4}^3}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{(2n+1)^2+4}^3}+\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{(2n)^2+4}^3}-\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{(2n)^2+4}^3}=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{k^2+4}^3}-\frac{8}{\sqrt{1^2+4}^3}-\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}^3}=[/tex]

[tex]=8\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+4}^3}-\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+1}^3}-\frac{8\sqrt{5}}{25}.[/tex]

Разглежда се редът [tex]\sum_{k = -\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3} \ , \ a>0.[/tex]

За него е изпълнено

[tex]\sum_{k = -\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}=\sum_{k = -\infty}^{-1}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}+\frac{1}{a^3}+\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{(-k)^2+a^2}^3}+\frac{1}{a^3}+\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}=\frac{1}{a^3}+2\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}[/tex]

следователно

[tex]\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}=\frac{1}{2}\sum_{k = -\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}-\frac{1}{2a^3}.[/tex]

Сега идва и най-интересната част. Сумата на реда [tex]\sum_{k = -\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}[/tex] може да се намери с помощта на теоремата за резидуумите.
Идеята на http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4324 . Подробности по-късно.

[Infernum]

За пресмятането на сумата на реда [tex]\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}[/tex] се прилага доказаното твърдение от линка даден по-горе. За целта обаче, трябва предварително да се провери дали функцията [tex]f(z)=\frac{1}{\sqrt{z^2+a^2}^3}[/tex] удовлетворява посочените в него условия. Тази функция има два полюса в точките [tex]z=\pm i a,[/tex] които очевидно са краен брой и не са цели числа. За проверката на второто условие, трябва да се установи дали е в сила равенството [tex]\lim_{n \to \infty}\int_{|z|=n+\frac{1}{2}}\frac{\pi \cot \pi z}{\sqrt{z^2+a^2}^3}dz=0.[/tex]

Тъй като функцията п.cotg пz е ограничена в областта, която се получава, като от комплексната равнина се премахнат кръгове с достатъчно малки радиуси, заграждащи нейните полюси (докажете това), то е налице оценката

[tex]\left| \int_{|z|=n+\frac{1}{2}}\frac{\pi \cot \pi z}{\sqrt{z^2+a^2}^3}dz \right|\le \frac{\pi M \left(n+\frac{1}{2}\right) \pi }{\left(n+\frac{1}{2}\right)^3}=\frac{M\pi^2}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}[/tex]

Следователно

[tex]0\le \lim_{n \to \infty}\left|\int_{|z|=n+\frac{1}{2}}\frac{\pi \cot \pi z}{\sqrt{z^2+a^2}^3}dz \right|\le \lim_{n \to \infty}\frac{M\pi^2}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}=0,[/tex]

откъдето следва, че и второто условие е налице.

Тогава [tex]\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2+a^2}^3}=-Res\left(\frac{\pi \cot \pi z}{\sqrt{z^2+a^2}^3} \ , \ ia \right)-Res\left(\frac{\pi \cot \pi z}{\sqrt{z^2+a^2}^3} \ , \ -ia \right)[/tex]

Остава само да се пресметнат резидуумите.

[Relinquishmentor]

Майко мила !

[Infernum]

Всичко изглежда на пръв поглед много хубаво, но в изложението е допусната една много тънка, но фундаментална грешка. Номерът не минава. Може да се окаже, че сумата на реда не може да се пресметне точно, което е много вероятно.

Нова задача. Открийте грешката в разсъжденията. Обяснете защо подходът основаващ се на идеята от линка е неприложим в този случай.