Обратима матрица

[omeganet]

Нека А е матрица с m реда и n стълба. Ако rk(a) = n, да се докаже, че матрицата A^tA е обратима.

[Реклама]

[Baronov]

Ако ранга на А е n, то det(A) ≠ 0, откъдето следва, че det(A^T) ≠0 и задачата следва.

[xyz]

Baronov каква детерминанта, като матрицата не е квадратна?
Междо другото, когато тази задача се появи, то аз я мъчих и не можах да намеря хубаво решение (че даже и никакво не намерих, ама аз търсех по-ясно такова, защото за задачата е интуитивно ясно, че това ще се получи).

Ако матрицата е над полето на реалните числа, то може да се каже следното.
Допускаме, че AA^t е необратима, т.е. стълбовете й са линейно зависими. Така умножавайки отляво с подходяща матрица B с ненулева детерминанта ще получим като резултат нулев ред. Този нулев ред ще се запази, ако умножим отдясно с B^t.
Получаваме, че матрицата BA отговаря на изискванията на условието (т.е. е и с ранк n), но се знае вече, че BA(BA)^t че не само е необратима, но притежава нулев ред. Това означава, че даден ред умножен скаларно по всички редове трябва да дава 0. Тъй като самият ред се умножава и със себе си, то получаваме че скаларният му квадрат е 0, което значи че самият ред е 0 (нали разглеждаме над реалните числа). Това е противоречие с факта, че BA има ранг n.

В общия случай нямам решение, обаче...