Регистрирайте сеРегистрирайте се

Национална Олимпиада по Математика


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Mon Nov 26, 2007 8:35 pm    Заглавие: Национална Олимпиада по Математика

Тук ще бъдат публикувани темите от Регионалния и Националния кръг на НОМ след 2000г.
Решения на задачите може да записва всеки участник във форума.Препоръчително е да не се използват авторските решения на задачите, както и да не се публикуват състезателни теми.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Mon Nov 26, 2007 8:54 pm    Заглавие:

Трети кръг - Първи ден, 15 април 2000г

Задача 1. За кои стойности на реалния параметър [tex]a[/tex] уравнението [tex]9^{t}-4a3^{t}+4-a^{2}=0[/tex] има точно един реален корен в интервала [tex](0,1)[/tex].

Задача 2. Нека [tex]CH[/tex] е височина в [tex]\triangle ABC(H\in AB)[/tex], а [tex]CM,CN(M,N\in AB)[/tex] са ъглополовящи съответно на [tex]\angle ACH,\angle BCH[/tex].Да се докаже, че ако центърът на описаната около [tex]\triangle CMN[/tex] окръжност съвпада с центъра на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност, то
[tex]S_{\triangle ABC}=\frac{|AN|.|BM|}{2}[/tex].

Задача 3. Дадена е редицата {[tex]a_{n}[/tex]}: [tex]a_{1}=43, a_{2}=142, a_{n+1}=3a_{n}+a_{n-1}[/tex], при [tex]n\ge 2[/tex].Да се докаже, че:

а) за всяко естествено число [tex]n[/tex] числата [tex]a_{n}[/tex] и [tex]a_{n+1}[/tex] са взаимно прости;
б) за всяко естествено число [tex]m[/tex] съществуват безбройно много естествени числа [tex]n[/tex], такива че числата [tex]a_{n}-1[/tex] и [tex]a_{n+1}-1[/tex] се делят на [tex]m[/tex].

Втори ден - 16 април 2000г

Задача 4. Даден е изпъкнал четириъгълник [tex]ABCD[/tex], за който [tex]\angle BCD=\angle CDA[/tex].Нека ъглополовящата на ъгъл [tex]ABC[/tex] пресича отсечката [tex]CD[/tex] в точка [tex]E[/tex].Да се докаже, че [tex]\angle AEB=90^\circ [/tex] тогава и само тогава, когато [tex]|AB|=|AD|+|BC|[/tex].

Задача 5. Да се докаже, че за всеки две реални числа [tex]a,b[/tex] съществува такова число [tex]c\in (0,1)[/tex], че [tex]|ac+b+\frac{1}{c+1}|>\frac{1}{24}[/tex]

Задача 6. Да се намерят всички множества [tex]S[/tex] от четири точки в равнината със свойството: за всеки две окръжности [tex]k_{1}, k_{2}[/tex] , които имат диаметри с краища в точки от [tex]S[/tex], съществува точка [tex]A\in S\cap k_{1}\cap k_{2}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Mon Nov 26, 2007 10:13 pm    Заглавие:

Smile


2000-3-2.png
 Description:
 Големина на файла:  56.66 KB
 Видяна:  9365 пъти(s)

2000-3-2.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
zhivo_zad
Редовен


Регистриран на: 28 Jun 2007
Мнения: 156

Репутация: 33.8Репутация: 33.8Репутация: 33.8
гласове: 14

МнениеПуснато на: Wed Nov 28, 2007 10:38 am    Заглавие:

Arrow


zad1.gif
 Description:
 Големина на файла:  10.24 KB
 Видяна:  9299 пъти(s)

zad1.gif


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Wed Nov 28, 2007 4:35 pm    Заглавие:

Smile


2000-3-4.png
 Description:
 Големина на файла:  23.24 KB
 Видяна:  9286 пъти(s)

2000-3-4.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Fri Nov 30, 2007 9:51 pm    Заглавие:

Четвърти кръг -Първи ден, 16 май 2000г

Задача 1. В правоъгълна координатна система [tex]xOy[/tex] едно множество от 2000 точки
[tex]M_{i}(x_{i},y_{i})[/tex], ще наричаме "добро", ако [tex]0\le x_{i}\le 83,0 \le y_{i}\le 1,[/tex] за [tex]i=1,2,...,2000[/tex] и [tex]x_{i}\ne x_{j}[/tex] при [tex]i\ne j.[/tex]
Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex] със следните две свойства:

а) За всяко добро множество съществува квадрат със страна [tex]1,[/tex] който съдържа точно [tex]n[/tex] от точките на множеството.
б) Има "добро" множество, за което не съществува квадрат със страна [tex]1,[/tex] който да съдържа точно [tex]n+1[/tex] от точките на множеството.

Задача 2. Даден е остроъгълeн [tex]\triangle ABC.[/tex]Да се докаже, че съществуват единствени точки [tex]A_{1},B_{1},C_{1},[/tex] лежащи съответно върху страните [tex]BC,CA,AB,[/tex] със следното свойство: всяка от точките е среда на отсечката с краища ортогоналните проекции на другите две точки върху съответната страна.Да се докаже, че [tex]\triangle A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] е подобен на триъгълника, образуван от медианите на [tex]\triangle ABC.[/tex]

Задача 3. Нека [tex]p\ge 3[/tex] е просто число и [tex]a_{1},a_{2},...,a_{p-2}[/tex] е редица от естествени числа, такaва че [tex]p[/tex] не дели [tex]a_{k}[/tex] и [tex](a_{k})^k-1,[/tex] за всяко [tex]k=1,2,...,p-2.[/tex] Да се докаже, че разликата на произведението на няколко елемента от редицата и числото 2 се дели на [tex]p.[/tex]

Втори ден, 17 май 2000г

Задача 4. Да се намерят всички полиноми [tex]P[/tex] с реални коефициенти такива,че [tex]P(x).P(x+1)=P(x^{2})[/tex] за всяко реално число [tex]x.[/tex]

Задача 5. Точка [tex]D[/tex] e среда на основата [tex]AB[/tex] на остроъгълен равнобедрен [tex]\triangle ABC.[/tex] Нека [tex]E\ne D[/tex] е произволна точка върху основата, а [tex]O[/tex] е център на описаната около [tex]\triangle ACE[/tex] окръжност. Да се докаже, че правата през [tex]D,[/tex] перпендикулярна на [tex]DO,[/tex] правата през [tex]E,[/tex] перпендикулярна на [tex]BC,[/tex] и правата през [tex]B,[/tex] успоредна на [tex]AC,[/tex] се пресичат в една точка.

Задача 6. Нека [tex]A[/tex] е множеството от всички редици от нули и единици с дължина [tex]n[/tex] и [tex]0\in A[/tex] e редицата с нулеви членове. Под сума на две редици [tex]a=a_{1},a_{2},...,a_{n}[/tex] и [tex]b=b_{1},b_{2},...,b_{n}[/tex] разбираме редицата [tex]c=c_{1},c_{2},...,c_{n},[/tex] за която [tex]c_{i}=0[/tex], ako [tex]a_{i}=b_{i}[/tex], и [tex]c_{i}=1,[/tex] ако [tex]a_{i}\ne b_{i}.[/tex]
Нека [tex]f:A->A[/tex] е функция, за която [tex]f(0)=0[/tex] и ако редиците [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] се различават точно в [tex]k-[/tex]члена, то редиците [tex]f(a)[/tex] и [tex]f(b)[/tex] също се различават точно в [tex]k-[/tex]члена.
Да се докаже, че ако [tex]a,b,c\in A: a+b+c=0,[/tex] то [tex]f(a)+f(b)+f(c)=0.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Fri Dec 07, 2007 12:02 am    Заглавие:

Трети Кръг -Първи ден, 28 април 2001г


Задача 1. За кои стойности на реалния параметър [tex]a[/tex] уравнението [tex]x^{2}-(1-2a)x+2a^{2}+lg(4x^{2}-(8a-1)x+5a^{2})=lg(x^{2}-2(a+1)x-a^{2})[/tex]
има само едно решение?

Задача 2. Диагоналите [tex]AC,BD[/tex] на вписан в окръжност четириъгълник се пресичат в точка [tex]E[/tex].Да се докаже, че ако [tex]\angle BAD=60^\circ [/tex] и [tex]|AE|=3|CE|,[/tex] то сумата на две от страните на четириъгълника е равна на сумата от другите му две страни.

Да се намери най-малкото естествено число [tex]n,[/tex] за което съществува група от [tex]n[/tex] човека, за която е изпълнено:
1. Няма четирима, всеки двама от които да се познават
2. Както и да изберем [tex]k\ge 1[/tex] човека, измежду които няма познати, измежду останалите [tex]n-k[/tex] човека има трима, всеки двама от които се познават.


Втори ден, 29 април 2001г


Задача 4. Нека [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен триъгълник с хипотенуза [tex]AB.[/tex] Върху лъча [tex]AC^\to\[/tex] е избрана точка [tex]D,[/tex] различна от [tex]A,C,[/tex] за която правата през центъра на вписаната окръжност в [tex]\triangle ABC,[/tex] успоредна на ъглополовящата на [tex]\angle ADB,[/tex] се допира до вписаната окръжност в [tex]\triangle BCD.[/tex] Да се докаже, че [tex]|AD|=|BD|.[/tex]

Задача 5. Да се намерят всички тройки от естествени числа [tex](a,b,c),[/tex] за които числото [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}[/tex] се дели на всяко от числата [tex]a^{2}b,b^{2}c,c^{2}a.[/tex]

Задача 6. Дадена е колода от [tex]52[/tex] различни карти.Разрешени са следните операции:
1. Смяна на местата на горните две карти
2. Преместване на горната карта най-отдолу.
Да се докаже, че използвайки тези две операции, картите могат да се подредят в произволен ред.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Who_cares123456
Редовен


Регистриран на: 14 Apr 2007
Мнения: 163

Репутация: 39.8Репутация: 39.8Репутация: 39.8Репутация: 39.8
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sat Dec 08, 2007 4:01 pm    Заглавие:

тея задачи май не са от третия кръг Shocked
за втори по-може

1зад. [tex]x^2-(1-2a)x+2a^2=\frac{(4x^2-(8a-1)x+5a^2)-(x^2-2(a+1)x-a^2)}{3} [/tex]

[tex]f(x)=\frac{x}{3}+lg x [/tex] e растяща функция
=>[tex]4x^2-(8a-1)x+5a^2=x^2-2(a+1)x-a^2[/tex]
[tex]3x^2-3(1-2a)x+6a^2=0[/tex]

...

другите без писане не стават , тъй че стига толкоз за сега
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Sun Dec 09, 2007 1:39 am    Заглавие:

Четвърти кръг -Първи ден, 19 май 2001г

Задача 1. Дадена е редицата [tex]\left\{a_{n}\right\}[/tex] [tex]: a_{0}=4,[/tex] [tex]a_{1}=22,[/tex] [tex]a_{n}-6a_{n-1}+a_{n-2}=0, n\ge 2.[/tex] Да се докаже, че съществуват редици [tex]\left\{x_{n}\right\}[/tex] и [tex]\left\{y_{n}\right\}[/tex], такива, че за всяко [tex]n\ge 0[/tex] е изпълнено [tex]a_{n}=\frac{y_{n}^{2}+7}{x_{n}-y_{n}}.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.