СиСтЕмКа

[елми4ка]

Ще може ли някой да ми помогне с решението на тази система:
X+Y+Z=4
2XY+Z²=16
Благодаря!

[Реклама]

[M_Velinova]

X+Y+Z=4
2XY+Z2=16



[tex]z^2=16-2xy[/tex]
[tex]z=4-x-y[/tex]
Повдигаме на квадрат.
[tex]z^2=16+x^2+y^2+2xy-8x-8y[/tex]
Заместваме:
[tex]16-2xy=16+x^2+y^2+2xy-8x-8y[/tex]
[tex]x^2+y^2+4xy-8x-8y[/tex]
[tex]x^2+4(y-2)x+y^2-8y=0[/tex]
Решаваме относно x:
[tex]D_1=4y^2-16y+16-y^2+8y>0[/tex]
[tex]D_1=3y^2-8y+16>0[/tex]
за всяко [tex]y[/tex]
Следователно [tex]x_{1,2}=-2y+4\pm \sqrt{3y^2-8y+16}[/tex]

[Titu_Andrescu]

Системата не трябва ли да е [tex] x+y+z=4[/tex] и [tex] 2xy-z^2=16 [/tex].

От системата следва, че
[tex]x+y=4-z[/tex] и
[tex]xy=\frac{16+z^2}{2}[/tex].

Следователно от формулите на Виет ще имаме, чe [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са корени на уравнението [tex]f(t)=t^2-(4-z)t+\frac{16+z^2}{2}=0[/tex].

Но [tex]D_{f(t)}=(4-z)^2-2(16+z^2)=-(z+4)^2\ge 0\Leftrightarrow z=-4\Rightarrow x=\pm 4, y=\mp 4[/tex]

[Infernum]

Ами по мои наблюдения, естествено е, при положение, че системата се състои от 2 уравнения с 3 неизвестни, решението да зависи от параметър.
В системата разгледана от Titu Andrescu е допусната грешка в последните стъпки на решаването.

[martosss]

[Grands]

Все пак решението на задачата е (4; 4; -4).