Определение на еквивалентни матрици?

[kusanagi]

Оказа се, че го имам в конспекта, но на лекциите не сме говорили нищо по въпроса, а и в учебникът не успях да намеря.
Гледах един сайт, на който пишеше:
Казваме, че две матрици А и А́ са подобни, (еквивалентни, свързани с подобно преобразование) ако съществува неизродена матрица* Н, такава че:

А́=H^-1АН

Но ако някой може да ми даде още инфо ще съм благодарна.

*Пък и не знам какво значи неизродена матрица, което също е проблем :>

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Две матрици са еквивалентни, ако едната се получава от другата чрез краен брой елементарни преобразувания. Освен това рангът им е един и същ.

[xyz]

По-точно е да се говори за еквивалентност на линейни оператории, зададени чрез матрици или поне да се казва "алгебрична еквивалентност на квадратни матрици". Иначе под еквивалентност на матрици обикновено се разбира, че едната може да се получи от другата чрез пермутация на редове и/или стълбове.
Иначе, тъй като вече имаш определението (вече си го дала), то ще обясня логиката, защо е такова. Смисълът на еквивалентните матрици е, че те задават едно и също линейно изображение, но при разлечен базис.
Ще дам и пример. Нека имаме стандартна координатна система и линейното изображение е симетрия, спрямо оста x. То се задава по следния начин:
Векторът по абсцисата x се запазва, т.е. ще имаме: (1,0) -> (1,0);
Векторът по абцисата y се отразява огледално, т.е. ще имаме (0,1) -> (0,-1).
Сега да изберем друг базис на координатната система, т.е. трябват ни два други вектора, които са линейно независими (т.е. да не са успоредни). Направленията са дадени с главни X и Y. Целта ни сега е да намерим координатите спрямо новия базис, по колко от зелените вектори трябва да вземем, че да получим съответните точки. Имаме:
За точка (0,1) розовите стрелки показват, че X стрелката сме я взели -1 път, докато Y стрелката е взета 2 пъти, така координатите й са (-1,2).
За точка (1,0) сме показали с сините стрелки: координатите са (+1,-1).
За точка (0,-1) използваме червено - първите две стрелки се препокриват със сините и затова е неясно. Координати: (+1,-2).
Сега да се върнем към разглежданото линейно изображение. В новите координати ще имаме следното изобразяване на точки:
(-1,2) -> (+1,-2)
(+1,-1) -> (+1,-1)
Последством линейни преобразувания (или определяйки на ръка координатите, като по-горе) ще видим, че това линейно изображение изпраща точките (0,+1) и (+1,0) от новия базис в:
(0,+1) -> (+2,-3)
(+1,0) -> (+3,-4)

Сега да направим заключението. Матрицата