Задача давана на конкурс

[d3mbo0o]

Нека L и β са корени на уравнението x² + x - 1 = 0 .
Да се намерят коефициентите P u Q във функцията f(x) = x² + Px + Q , ако се знае че f(L) = β² u f(β)=L².

[Реклама]

[ганка симеонова]

За по-голямо удобство ще означа корените с m и n. от ф- те на виет следва, че m+n=-1, m.n=-1,
Тогава, като се съобразим с условието, ще следва, че:

Събираме почленно двете равенства и получаваме след заместване с ф- те на виет:

След това умножаваме двете равенства ( съответно левите и десните страни)
След приведение получаваме:

От двете у-ния съставяме система, която след като решим има за решения (p;q)=(2;1) и (0:0), но второто не е решение, защото тогава се получават равни или противоположни корени, за първоначалното, което е противоречие.