Доказване на неравенство

Spider Iovkov

Пак задача. Този път малко по-трудна.

* Ако S_n е сумата на първите n естествени числа, докажете, че за всяко n е изпълнето:

S_2n>2S_n.

Реклама

Irrefutable · Пуснато на: Sun Nov 18, 2007 12:08 pm Заглавие:

[tex]S_n = \frac{n(n+1)}{2 } [/tex]
[tex]S_{2n} = \frac{2n(2n+1) }{ 2 } = n(2n+1)[/tex]

[tex]2S_n = \frac{2n(n+1)}{2} = n(n+1)[/tex]

[tex]\frac{S_{2n} }{ 2S_n} = \frac{n(2n+1) }{ n(n+1) } > 0 => S_{2n} > 2S_n[/tex]

Fed · Пуснато на: Sun Nov 18, 2007 4:09 pm Заглавие:

Spider Iovkov · Пуснато на: Mon Nov 19, 2007 9:55 am Заглавие:

Аз го реших по малко по-различен начин. Не съм делил двете страни на неравенството на 2S_n.

[tex]S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}.n;[/tex]
[tex]S_{2n}=\frac{a_{1}+a_{2n}}{2}.2n, S_{2n}=(a_{1}+a_{2n})n;[/tex]

[tex](a_{1}+a_{2n})n>(a_{1}+a_{n})n, a_{1}+a_{2n}>a_{1}+a_{n},[/tex]
[tex]a_{1}+a_{1}+(2n-1)d>a_{1}+a_{1}+(n-1)d,[/tex]
[tex](2n-1)d>(n-1)d,[/tex]
[tex]2n-1>n-1,[/tex]
[tex]2n>n.[/tex]

Което е винги изпълнено. Следователно неравенството е в сила.

Spider Iovkov · Пуснато на: Tue Nov 20, 2007 8:29 pm Заглавие:

Хайде още едно примерче. Wink

[tex]S_{n^2}\ge (S_{n})^2.[/tex]

tanas · Пуснато на: Sun Nov 25, 2007 12:21 pm Заглавие:

ttaannqq · Начинаещ Регистриран на: 02 Dec 2007 Мнения: 3

задача 1:
три числа сборът на които е 78,образуват геометрична проглесия.тези три числа са същевременно първи,трети и десети членове на аритметичната проглесия.намерете числата?

задача 2:
три числа чиито сбор е 42,образуват геометрична прогресия с частно,по-голямо от 1.ако към пурвото число прибавим 2,а от третото извадим 8,ще получим аритмртична проглесия.намерете числата?