Параметрично неравенство

[Airqn4o]

ще ми помоля за малко помощ с една задача,тъй като очевидно съм голям олигозахарит
При кои реални стойности на параметъра к неравенството х^2 - (3k+1)x + k > 0 е изпълнено за всяко x>1
10х предварилтено

[Реклама]

[martosss]

Е ми аз май го реших...
Имаме х² -(3k+1)x+k>0 и трябва да намерим ст-стите на к, за които това е изпълнено за всяко x>1.
[tex] x^2-(3k+1)x+k=x^2-2*x*\frac{3k+1}{2}+[\frac{3k+1}{2}]^2-[\frac{3k+1}{2}]^2+k=[x-\frac{3k+1}{2}]^2-[\frac{3k+1}{2}]^2+k>0[/tex]
[tex] [x-\frac{3k+1}{2}]^2>\frac{9k^2+6k+1-4k}{4} [/tex]
Сега и двете страни са >0(Защо?) и коренуваме =>
=> [tex] |x-\frac{3k+1}{2}|>\sqrt{\frac{9k^2+2k+1}{4}} [/tex]

1. [tex]x-\frac{3k+1}{2}>0\Leftrightarrow x>\frac{3k+1}{2}[/tex]
[tex] \Rightarrow x>\frac{3k+1}{2}+\sqrt{\frac{9k^2+2k+1}{4}}[/tex]
сега трябва дясната страна да е по-малка или равна на 1
[tex]\frac{3k+1}{2}+\sqrt{\frac{9k^2+2k+1}{4}}\le 1\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow\sqrt{\frac{9k^2+2k+1}{4}}\le \frac{1-3k}{2}[/tex] Д.С. 1-3к>0 => k<1/3 Сега повдигаме на квадрат:
[tex]{\frac{9k^2+2k+1}{4}\le \frac{1-6k+9k^2}{4} \Rightarrow[/tex]
[tex] 8k\le 0 =>[/tex]k≤0 Тогава [tex] x>(3k+1)/2 <=>x>1/2 \cup x>1[/tex] e изпълнено за всяко х>1

2.[tex]x-\frac{3k+1}{2}<0\Leftrightarrow x<\frac{3k+1}{2}[/tex]
[tex] \Rightarrow -x+\frac{3k+1}{2}>\sqrt{\frac{9k^2+2k+1}{4}} [/tex]
[tex] \Rightarrow 1<x<\frac{3k+1}{2}-\sqrt{\frac{9k^2+2k+1}{4}} \Rightarrow [/tex] не е изпълнено за всяко х>1.

Мисля че това е решението, при втория случай коренът заедно с к расте постоянно, клони към безкрайност при к клонящо към безкрайност, но въпреки това не е изпълнено, така че окончателно остава к≤0

[Airqn4o]

благодаря

[r2d2]

За да бъде неравенството изпълнено за всяко х>0, уравнението не трябва да има корени по-големи от 1.
Това дава следните две възможности:
1. Уравнението няма корени, т.е. D<0

2. Уравнението има корени, но те са <= от 1, или
[tex]D \ge 0[/tex]
[tex]f(1) \ge 0[/tex]
[tex]x_v \le 1[/tex]

[tex]D=(3k+1)^2-4k=9k^2+2k+1>0 [/tex] за всяко k, т.е. първата възможност отпада.
За 2:
[tex]f(1)=-2k \ge 0\; \Rightarrow k \le 0[/tex]
[tex]x_v= \frac{3k+1}{2} \le 1\;\Rightarrow k \le \frac{1}{3}[/tex]

Окончателно[tex] k \le 0[/tex]
Същият резултат, но с по-малко усилия!

[martosss]

Хубаво решение, макар че много не схващам логиката с това да няма корени и да е изпълнено nvm

[r2d2]

Наистна, трябва да е х>1 (печатна грешка)
[tex]x_v[/tex] е х-координатата (абсцисата) на върха на параболата (v - vertex).