 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
xyz
Напреднал
Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319
  
гласове: 12
|
 Пуснато на: Mon Nov 12, 2007 6:08 pm Заглавие: Сума на корени |
|
|
В темата
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=18446&highlight=#18446
поставих по-общ проблем. Счетох, че ще е по-добре да го формулирам отделно, защото открих доказателство. Бях започнам да го превеждам, но ми се скапа браузъра и всичко пропадна... Затова ще го цитирам на английски (с цел в бъдеще да го преведа и оправя читаемостта на формулите):
| Цитат: |
Да се докаже, че ако всички x_i са положителни рационални числа и [tex]\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i}[/tex] е рационално, тогава всички √xi са рационални.
----------------------
Нека ai=√xi. Така (ai)2 е рационално число за всяко i и S = a1+...+an е също рационално число. Ще докажем, че ai е рационално число, за всяко i.
Да допуснем противното. Без загуба на общност можем да приемем, че a_1 е ирационално. Така a1 =/= 0.
Нека P(t,a1) е полиномът, дефиниран така:
(1) [tex] P(t,a_1) =\prod(t- a_1 \pm a_2 \pm .... \pm a_n)[/tex]
където the product is over all the 2 n-1 choices of signs of the a_i's for i > 1.
Note that, if i > 1, then changing a_i into -a_i does not affect P(t), thus expanding P(t), each of these a_i's will appear only with even powers.
So, expanding, we group the terms according to the parity of the exponent of a_1, and we obtain P(t) = P(t, a_1, a_2,...,a_n) = N(t, (a_1)2,..., (a_n)2) - a_1*D(t, (a_1)2,..., (a_n)2). (2)
Note that N and D are polynomials with rational coefficients.
Moreover, from (1), we have P(S, a_1,..., a_n) = 0.
Now, since a_1 is not a rational number, from (2) with t = S, we deduce that :
D(S, (a_1)2,..., (a_n)2) = 0.
In another hand, from (2), we have :
-2(a_1)*D(S, (a_1)2,..., (a_n)2) = P(S, a_1,..., a_n) - P(S, -a_1, a_2,...,a_n) = - P(S, -a_1, a_2,...,a_n)
from which we deduce that
0 = D(S, (a_1)2,..., (a_n)2)
= P(S, -a_1, a_2, ..., a_n) / (2a_1)
= prod (2( a_1 + sum{i in I} a_i))
where the sum is over all the non-empty subsets of {2,...,n}
This leads to a contradiction, since each factors of the product is a positive number.
The conclusion follows....
Pierre.
|
както и ще дам линк на оригинала:
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=4496&highlight=rational
. |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
