Пирамида

[Nona]

Дадена е пирамида PABCD. Oсновата ABCD e ромб с <DAB=60°. Ако PC²=PB²+PD², да се докаже, че PA=AB.

(IMTS, Round 25, Problem 5)

[Реклама]

[r2d2]

Нека ABCD е произволен ромб, а Р - някаква точка. Нека диагоналите на ромба се пресичат в т.О.
РО е медиана в АРС [tex]4PO^2=2(PA^2+PC^2)-AC^2[/tex]
РО е медиана в BРD [tex]4PO^2=2(PB^2+PD^2)-BD^2[/tex]
Като приравним десните страни имаме:
[tex]2(PA^2+PC^2-PB^2-PD^2)=AC^2-BD^2=AC^2+BD^2-2BD^2=4AB^2-2BD^2[/tex] или
[tex]PA^2+PC^2-PB^2-PD^2=2AB^2-BD^2[/tex]

За ромб с ъгъл BAD=60° BD=AB т.е. [tex]PA^2+PC^2-PB^2-PD^2=AB^2[/tex]
Остана да заместим РС.